Question

Numarul natural n are numai 3 divizori naturali. Daca suma celor 3 divizori este 31,atunci n este : ?

2. Mai multi copii vor sa cumpere un obiect. Daca fiecare participa cu cate 20 de lei,nu ajung 5 lei. Daca fiecare participa cu cate 30 lei,sunt in plus 25 lei. Cati copii vor cumpara obiectul?

Answer 1

1)
Numerele naturale care au numar impar de divizori sunt patratele perfecte.
=> cautam un patrat perfect pe care il notam cu k² cu divizorii: {1, k, k²}
Ecuatia este:
k² + k + 1 = 31
k² + k - 30 = 0
$k_{12} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+120} }{2}= \frac{-1 \pm \sqrt{121} }{2}=\frac{-1 \pm 11 }{2} \\ \\ k_1=\frac{-1 + 11 }{2}=\frac{10 }{2}=5 \\ \\ k_2=\frac{-1 - 11 }{2}=\frac{-12 }{2}=-6\;\; \text{(solutie eliminata nefiind naturala)} \\ \\ => k =5 \\ => k^{2} = 5^{2}=25 \;\; \text{(numarul cautat)}$


2)
Notatii:
n = numarul de copii
p = pretul
Scriem ecuatiile:
20n + 5 = p
30n - 25 = p
---
20n - p = -5
30n - p = 25
------------------ Din a 2-a ecuatie o scadem pe prima.
10n   /  = 30
n = 30 / 10 = 3 copii.
=> 3 copii vor sa cumpere obiectuul.