Question

Numărul soluţiilor complexe ale ecuaţiei z^2 = z conjugat
help pls

Answer 1

Fie z = a + bi, unde a si b sunt numere reale

z² = z conjugat
(a+ bi)² = a - bi
a² + 2abi - b² = a - bi
a² - b² - a + (2ab + b)i = 0

Partea reala a lui 0 este 0 ==> a² - a + b² = 0
Partea imaginara a lui 0 este 0 ==> b(2a + 1) = 0

Pentru a doua relatie avem doua cazuri, ca produsul sa fie 0:

Cazul I: b = 0 ==> a² - a = 0 ==> a(a - 1) = 0 ==> a ∈ {0, 1}

Cazul II: 2a + 1 = 0 ==> a = -1/2 ==> 1/4 + 1/2 + b² = 0
3/4 + b² = 0 ==> b² = -3/4 ==> Nu exista solutii pentru b real.

Solutiile finale: z ∈ {0, 1}