Question

Numarul solutiilor reale ale ecuatiei x⁴-x³-x²-x=0 este

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

Answer 1

Idee:

Evident, dacă vom da x factor comun în membrul stâng, atunci x=0

este o soluție reală a ecuației date.

Rămâne să studiem ecuația x³ - x ²- x - 1 = 0.

Numărul soluțiilor complexe  este totdeauna par (a+bi și a-bi), rezultă că ecuația dată mai are cel puțin o soluție reală.

Tabelul de variație a funcției f(x) = x³ - x ²- x - 1 ne conduce la determinarea a două puncte de extrem local:

A(-1/3, -16/27) -punct de minim local;

B(1, -2) - punct de maxim local.

Ambele puncte sunt situate sub axa Ox, dar pe intervalul (1, ∞) funcția este strict crescătoare, deci va intersecta Ox într-un singur punct, care va fi cea de a doua soluție reală a ecuației date.

Concluzia: Numărul soluțiilor reale ale ecuației date este egal cu 2.

Observație :

f(1)=-2 < 0 și f(2)=1 >0 ⇒ cea de a doua soluție se află în intervalul (1,  2).