Question

numarul zerourilor produsului 10×11×12×.....×99



Dau coroana și inima!
Va rog e pentru mâine!​

Answer 1

Răspuns:

21 de 0

Explicație pas cu pas:

este acelasi numar ca pt  99!-1, pt ca primul 5 dispare

trebuie sa aflam  cati multi[pli  lui 5 avem si cati suplimentari ,ai lui 25 (care nu sunt si ai lui 5)

formula generala pt n! este[n/5]+[n/25] pt ca [n/125] si urmatorii sunt 0, pt ca 99<125

deci

[99/5]+[99/25]-1

19+3-1= 22-1=21 de 0

prin [x] am inteles parte intreaga din x

Answer 2

[+] Raspuns :

Numarul va avea 21 de zerouri la final.

[+] Teorie :

Cand avem zerouri la finalul unui produs ?

Cifrele de zero apar in momentul in care in descompunerea in factori primi a numarului avem puteri ale lui 2 si puteri ale lui 5. Numarul de zerouri este egal cu minumul dintre exponentul lui 2 si exponentul lui 5. Daca $n \in N$ este de forma $n=2^x*5^y*...$ atunci numarul de zero de la finalul lui n este egal cu $min(x,y)$. , unde $x,y \in N$

[+] Rezolvare :

Fie n=10*11*12*...*99

Se observa usor ca avem multi factori divizibili cu 2 (sau cu puteri ale lui 2) in acest produs decat factori divizibili cu 5 (sau cu puteri ale lui 5). Deci exponentul la care apare 2 in descompunerea in factori este mult mai mare decat exponentul la care apare 5.

Astfel este necesar sa determinam doar puterea la care apare 5 in descompunere. Acesta va fi si numarul de cifre de 0 de la finalul numarului dat.

Care sunt factorii care ne furnizeaza 5 in descompunere ?

Factorii care furnizeaza 5 in descompunere sunt multiplii lui 5. Totusi multiplii unei puteri ale lui 5 ne dau mai multi astfel de factori de 5.

Mai precis, intr-un produs de tipul 1*2*3*...*m, unde $m \in N$ :

• Valorile divizibile cu $5^n$ dar nu cu $5^{n+1}$ ne vor da n factori

• Valorile divizibile cu $5^{n-1}$ dar nu cu $5^n$ ne vor da n-1 factori

• ..............

• Valorile divizibile cu $5^3$ dar nu cu $5^4$ ne vor da 3 factori
• Valorile divizibile cu $5^2$ dar nu cu $5^3$ ne vor da 2 factori
• Valorile divizibile cu 5 dar nu cu $5^2$  ne vor da 1 factor

$\forall n \in N$

In cazul nostru 99 < 125 = 5^3, deci singurele puteri ale lui 5 din acest produs sunt 5 si 25.

Astfel :

• Factori divizibili cu 25 : 25,50,75 -> 3 valori
• Factori divizibili cu 5 dar nu cu 25 : 5,10,15,20,30,35,40,45,55,60,65,70,80,85,90,95 -> 15 valori

Deci in descompunerea in factori primi al lui n vom avea exponentul lui 5 egal cu 3*2 + 15*1 = 6+15 = 21.

Descompunerea lui n in factori priomi va fi :

$n=2^m*5^{21} * .....$, unde am stabilit la inceput ca ca m>21

Deci numarul n va avea 21 de zerouri la final.

[+] Nota :

Nu este nevoie sa insiram toti multiplii lui 5 (sau a puterilor lui 5).

Numarul de valori divizibile cu m din intervalul [1,n] este egal cu $[\frac{m}{n}]$, unde $m,n \in N$ iar $[x] = \text{parte intreaga din x}, \forall x \in R$.

Deci numarul de valori divizibile cu 25 = [99/25] = 3

Numarul de valori divizibile cu 5 = [99/5] = 19

Din 19 scadem (1+3)  pentru ca :

• 5 nu apare in produs
• Avem 3 valori divizibile cu 25

Deci numarul de zerouri de la finalul numarului este (19-(1+3))*1 + 3*2 = 15+6=21