Question

Numere complexe exercițiul din poză​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Notam E = (1 + i)²ⁿ + (1 - i)²ⁿ⁺¹ = {(1 + i)²]ⁿ + (1 - i)*[(1 - i)²]ⁿ = (1² + 2i + i²)ⁿ + (1 - i)*(1² - 2i + i²)ⁿ =

=  (1² + 2i -1)ⁿ + (1 - i)*(1² - 2i -1)ⁿ =  2iⁿ + (1 - i)*(- 2i)ⁿ = 2ⁿ * iⁿ + (1 - i)*(- 1)ⁿ *2ⁿ * iⁿ

Ca la multe alte exercitii cu numere complexe la puterea n, luam cele 4 cazuri in care n se poate afla ca multiplu al lui 4, adica

n = 4a ⇒ iⁿ = 1  

⇒ E = 2ⁿ + (1 - i)*2ⁿ = 2ⁿ (1 + 1 - i)  = 2ⁿ * (2 - i)

n = 4a + 1  ⇒ iⁿ = i  ⇒

⇒ E = 2ⁿ * i + (1 - i)*(- 1) *2ⁿ * i = 2ⁿ * i + (i - 1) * 2ⁿ * i   = 2ⁿ * i*(1 + i - 1) = 2ⁿ * i * i = - 2ⁿ

n = 4a + 2  ⇒ iⁿ = -1 ⇒

⇒ E = 2ⁿ * (-1) + (1 - i)* 2ⁿ * (-1) = - 2ⁿ - 2ⁿ * (1 - i)  = - 2ⁿ * (1 + 1 - i) = - 2ⁿ * (2 - i)

n = 4a + 3  ⇒ iⁿ = -i ⇒

⇒ E = 2ⁿ * (-i) +  (1 - i)*(- 1)*2ⁿ *(-i) = - 2ⁿ * i  + (1 - i)* 2ⁿ * i = 2ⁿ * i *( -1 + 1 - i) = - 2ⁿ * i * i  = 2ⁿ