Question

Numerele naturale x,y,z sunt direct proporţionale cu numerele naturale
prime p,q,r. Ştiind că p ultimelor 2020 de cifre ale numărului T = x^2019 + y^2019 + z^2019

Answer 1

Ai mai jos explicatia, am incercat sa iti raspuns într-un mod cat mai frumos

Explicație pas cu pas:

Putem folosi condiția de directă proporționalitate a numerelor x, y și z cu primele p, q, și r pentru a scrie:

x = ap, y = bq, z = cr

unde a, b și c sunt constante.

Astfel, putem rescrie T ca:

T = (ap)^2019 + (bq)^2019 + (cr)^2019

Timpul limitat ne sugerează să încercăm să găsim o relație între cifrele lui p, q și r și cifrele lui T. Observăm că dacă ridicăm la puterea 2019 un număr format din k cifre, vom obține un număr format din cel mult 2019k cifre. Deoarece numerele p, q și r sunt prime, acest lucru înseamnă că ultimele 2020 de cifre ale lui T sunt determinate numai de ultimele 2020 cifre ale numerelor x, y și z.

Prin urmare, putem scrie:

T = A + B + C

unde A, B și C sunt numere naturale formate din ultimele 2020 cifre ale lui x^2019, y^2019 și z^2019, respectiv. Putem scrie:

x^2019 = (ap)^2019 = a^2019 p^2019 = (10^{2019k_A} + A) p^2019

y^2019 = (bq)^2019 = b^2019 q^2019 = (10^{2019k_B} + B) q^2019

z^2019 = (cr)^2019 = c^2019 r^2019 = (10^{2019k_C} + C) r^2019

unde k_A, k_B și k_C sunt numere naturale și A, B și C sunt numere naturale formate din cel mult 2020 cifre. Substituind aceste expresii în formula pentru T, obținem:

T = (10^{2019k_A} + A) p^2019 + (10^{2019k_B} + B) q^2019 + (10^{2019k_C} + C) r^2019

Observăm că cifrele lui T sunt determinate numai de cifrele lui A, B și C. Din această observație, putem concluziona că numerele x, y și z nu sunt importante pentru a determina ultimele 2020 de cifre ale lui T; singurele numere importante sunt p, q și r și constantele a, b și c care le înmulțesc.

Concluzia finală este că ultimele 2020 de cifre ale lui T depind numai de ultimele 2020 cifre ale numerelor p^2019, q^2019 și r^2019 și nu depind de numerele x, y și z.