Question

Numerele raționale pozitive a,b,c satisfac relațiile : a/3 = b/4 = c/6 și 2a + 5b + 3c = 88 . Calculați : 4a + 3b - 4c și 1/a la patrat + 1/b la patrat + 1/c la patrat .

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$\frac{a}{3}= \frac{b}{4}= \frac{c}{6}= k,~coeficient~de~proportionalitate\\\\deci~a=3k,~b=4k,~c=6k,~inlocuim~in~2a+5b+3c=88,~obtinem,~2*3k+5*4k+3*6k=88,~6k+20k+18k=88,~44k=88,~k=2.\\Deci~a=3*2=6,~b=4*2=8,~c=6*2=12.\\Atunci~4a+3b-4c=4*6+3*4-4*12=24+12-48=36-48=-12.\\\frac{1}{a^{2}}+ \frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{36} +\frac{1}{64}+\frac{1}{144}=\frac{16+9+4}{576}=\frac{29}{576}$

Am aflat cmmmc [36,64,144]=576, deoarece

36=2²·3²,  64=2⁶,  144=2⁴·3², deci  [36,64,144]=2⁶·3²=576

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a/3 = b/4 = c/6 = k → coeficient de proportionalitate

⇒ a = 3 k;   b = 4 k    si c = 6 k

_______________________

2 a + 5 b + 3 c = 88

2 × 3 k + 5 × 4 k + 3 × 6 k = 88

6 k + 20 k + 18 k = 88

44 k = 88

k = 88 : 44   ⇒   k = 2

__________________

a = 3 × 2   ⇒  a = 6

b = 4 × 2   ⇒  b = 8

c = 6 × 2    ⇒  c = 12

________________

4 a + 3 b - 4 c = 0

= 4 × 6 + 3 × 8 - 4 × 12 =

= 24 + 24 - 48 =

= 48 - 48 =

= 0

________________

1/a² + 1/b² + 1/c² = 29/576

= 1/6² + 1/8² + 1/12² =

= 1/36 + 1/64 + 1/144 =

→ aflam cel mai mic multiplu comun al numitorilor 36,  64  si 144:

36 = 4 × 9

64 = 4³

144 = 4 × 36 = 4² × 9

_________________

c.m.m.m.c al numitorilor:  4³ × 9 = 144 × 4 = 576

→ aduc fractile la acelasi numitor 144, amplificand prima fractie cu 16,   a doua fractie cu 9

= 16/576 + 9/576 + 4/576 =

= 29/576