Question

Numiți vă rog,criteriile de divizibilitate cu $2^{n}, 5^{n},7,11,13$ .

Answer 1

$2^n-~numarul~format~de~ultimele~n~cifre~trebuie~sa~fie \\ divizibil~cu~2^n. \\ \\ exemplu:~5531888~este~divizibil~cu~8~deoarece~888~este~divizibil~cu~8. \\ \\ 5^n-numarul~format~de~ultimele~n~cifre~trebuie~sa~fie~divizibil~cu~ \\ 5^n. \\ \\ exemplu:~123450 ~\vdots~25,~pentru~ca~50 ~ \vdots~25. \\ \\ 11-diferenta~dintre~suma~cifrelor~de~rang~impar~si~suma~cifrelor \\ de~rang~par~este~un~multiplu~de~11. \\ \\ Prin~rang~intelegem~pozitie.$

$Deci~\overline{a_1a_2a_3...a_{2k}}~ \vdots ~11 \Leftrightarrow (a_1+a_3+a_5+...a+a_{2k-1})-(a_2+a_4+...+ \\ +a_6)~\vdots~11.$

$Bineinteles:~este~valabil~si~daca~numarul~are~un~numar~impar~de \\ cifre~(121 \longrightarrow (1+1-2=0)$

$Nu~sunt~foarte~sigur,~dar~cred~ca~pentru~7-11-13~exista ~un \\ criteriu~general. \\ \\ Criterii~cu~7~sunt~o~gramada!~Iti~prezint~aici~unul~din~acestea,~si~ti \\ le~voi~prezenta~in~privat~pe~celelalte. \\ \\ Voi~exemplifica~pe~un~numar:2016. \\ \\ Luam~numarul~si~il~descompunem~in~baza~zece:~2 \cdot 10^3+0 \cdot 10^2+\\ 1 \cdot 10+6 \cdot 10^0. \\ \\ Inlocuim~acum~numarul~10~cu~3: \\ \\ 2 \cdot 3^3+0 \cdot 3^2+1 \cdot 3+ 6 \cdot 3^{0}=63.$

$Daca~rezultatul~este~divizibil~cu~7,~rezulta~ca~si~numarul~initial \\ este~divizibil~cu~7.~(63~ \vdots ~ 7 \Rightarrow 2016 ~ \vdots~7).$

$Nu~stiu~criteriul~de~divizibilitate~cu~13,~dar~ti-l~pot~prezenta \\ in~privat.$