Question

O barcă se mișcă între două porturi aflate pe un râu, în aval cu viteza V₁=16km/h, iar în amonte cu viteza V₂=10km/h. Considerați viteza apei pe tot cursul râului aceeași, iar barca față de apă dezvoltă aceiași viteză atât în aval cât și în amonte. Aflați: viteza apei din râu, viteza bărcii față de apă și viteza medie a bărcii pe tot parcursul drumului, dus și întors.

Answer 1

Răspuns:

viteza apei = 3 km/h

viteza bărcii = 13 km/h

viteza medie = 12,30 km/h

Explicație:

Vitezele sunt mărimi vectoriale și se adună după regulile de adunare a vectorilor.

Notăm cu vₐ viteza apei și cu vₓ viteza bărcii.

Când barca se deplasează în aval (în sensul curgerii apei):

vₓ + vₐ = 16 km/h  (1)

Când barca se deplasează în amonte (în sens invers curgerii apei):

vₓ - vₐ = 10 km/h (2)  

Efectuăm (1)+(2):

vₓ + vₐ + vₓ - vₐ = 16 + 10

2·vₓ = 26 ⇒ vₓ = 13 km/h

Din ecuația (1) calculăm vₐ:

vₐ = 16 - vₓ = 16 - 13 ⇒ vₐ = 3 km/h

Notăm cu d distanța dintre porturi, cu t₁ timpul de deplasare în aval și cu t₂ timpul de deplasare în amonte.

d = v₁·t₁ ⇒  $t_{1} = \frac{d}{v_{1} } = \frac{d}{16} ore$

d = v₂·t₂ ⇒ $t_{2} = \frac{d}{v_{2} } = \frac{d}{10} ore$

Viteza medie este dată de formula

$vm = \frac{2d}{t_{1} + t_{2} }$

Deoarece distanța dintre porturi este parcursă și în aval și în amonte, distanța totală este 2d. Timpul total este t₁ + t₂

Înlocuim pe t₁ și t₂ în ecuația de calcul a vitezei medii:

$vm = \frac{2d}{\frac{d}{16} +\frac{d}{10} } = \frac{2d}{\frac{5d + 8d}{80} } = \frac{80*2d}{13d} = \frac{160}{13} = 12,30 km/h$   - am luat doar primele 2 zecimale.

Observație:

La prima vedere, am fi tentați să spunem că viteza medie este media celor două viteze - adică (16+10):2 = 13 km/h

Rezultatul ne spune că viteza medie este mai mică (12,3 km/h)

Explicația este că timpul necesar deplasării în amonte este mai mare decât timpul necesar deplasării în aval. De aceea, viteza de deplasare în amonte are pondere mai mare.

Este ca atunci când avem o notă de 10 și două de 4. Media lor nu este 7, pentru că ponderea lui 4 este mai mare, iar media este 6.