Question

O camera are forma unui cub ABCDA'B'C'D' cu muchia de 4 m. Punctul P reprezinta un paianjen situat pe peretele ABB'A' la distanta de 1 m fata de muchiile
AB si BB', iar punctul M reprezinta o musca situata pe peretele CDD'C' la distanta de 1 m fata de muchiile DD' si D'C'.
a) Demonstrati ca punctele P, D' , M si D sunt coplanare.
b) Calculati lungimea celui mai scurt drum pe care trebuie sa-l parcurga paianjenul pentru a ajunge la musca (paianjenul se poate deplasa doar pe podea, pe pereti si pe tavan).
c) Determinati distanta de la musca la dreapta BB'.

Answer 1

Răspuns:

P pe bisectoarea ABB'  deci pe diag patratuluiABB'A"

M pe bisectoarea DD'C' deci pe diag patratului DD'C'C

deci PB||D'M , PBD'M, coplanare

(extra dar [PB]=[D'M]=√(1²+1²)=√2

deci PBMD' patrulater cu 2 laturi opuse || si congr, PBMD' paralelogram)

c) fie MQ⊥CC', Q∈CC'

cum M∈(DCC')⊥(BCC')⇒MQ⊥(BCC')

fie QR⊥BB', R∈BB'

cum QR si BB'⊂(BCC') ⇒(T3p)⇒MR⊥BB'⇔d(M, BB') =[MR]=√(MQ²+QR²)=

√(3²+4²)=5m

b) √(8²+2²)= 2√17