O cutie are forma de cub ABCDA'B'C'D' cu latura de 6 m.
a. Aflati diagonala si volumul cubului.
b.Aflati sinusul unghiului format de planele D'AC si ABC
c. Aflati lungimea unei benzi de hartie care porneste din punctul A si ajunge in punctul A' trecand pe toate fetele laterale.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
4
a)Volumul cubului este dat de cbul laturii acestuia.
Deci V=l³, unde V=volumul si l=latura cubului.
Atunci V=6³ ⇒V=216cm³
Diagonalele cubului sunt in numar de patru; sunt egale si unesc varfurile diagonal opuse. Sa calculam AC'.
Folosim pentru aceasta triunghiul ACC'. In acesta, CC' este perpendiculara pe AC fiindca CC' este muchie a cubului si este perpendiculara pe fata ABCD. O perpendiculara pe un plan este perpendiculara pe oricare dreapta din acel plan. Dreapta AC∈planului ABCD, deci CC' este perpendiculara pe AC.
Inseamna ca triunghiul ACC' este dreptunghic in C, iar AC' este ipotenuza in el. Am pute-o afla folosind teoreme luim Pitagora. Cunoastem cateta CC'. Ne trebuie cealalta cateta AC.
Aceasta este diagonala in patratul ABCD, care este fata a cubului. O calculam din triunghiul ABC, dreptunghic in B si isoscel , cu AB=BC=l.
Atunci AC²=l²+l² ⇒AC²=2l².
Acum putem calcula diagonala cubului AC' tinand seama ca CC'=l
AC'²=AC²+CC'² ⇒ AC=√(AC²+CC'²) ⇒AC=√(2l²+l²) ⇒AC=√3l² ⇒AC=l√3.
b)Unghiul a doua plane este dat de unghiul a doua drepte perpendiculare in acelasi punct de pe muchia de intersectie a celor doua plane(numita si muchia diedrului). Muchia diedrului in cazul nostru este AC. Fie dreapta DB∈planului ABCD si deci DB∈planului ABC. Fie O centrul fetei ABCD. El este si punct de intersectie al diagonalelor acestei fete. Aceste stim ca se intersecteaza in parti egale si ca sunt perpendiculare una pe alta. O se afla pe muchia diedrului si pe AB. Retinem doar segmentul DO care este deci perpendicular pe muchia AC a diedrului. Acum demonstram ca DO este perpendiculara pe AC, muchia diedrului. In triunghiul AD'C AD'=D'C, iar AO=OC. Atunci DO este mediana in triunghiul isoscel AD'C. Atunci ea este si mediatoare, deci este perpendiculara pe latura AC.
Insemana ca ungiul format de cele doua plane este unghiul dreptelor DO si D'O.
Pentru a calcula sinusul unghiuli dintre ele ne folosim de triunghiul DOD'.
Acesta este dreptunghic in D fiindca DD' este muchie a cubului si ea este perpendiculara pe fata ABCD si, ca urmare pe orice dreapta din plan. Deci si pe DO. Notam cu α unghiul DOD' al carui sinus il cautam.
sinα=DD'/D'O.. DD'=l, ca muchie a cubului. Ne trbuie D'O.
Din triunghiul dreptunghic DOD' ipotenuza D'O²=D'D²+DO². Aici D'D=l iar DO=DB/2. Pe DB, diagonala fetei l/am calculat anterior DB=AC.
Atunci DO²=2l²/2 ⇒DO²=l²
Atunci D'O=l²+l² ⇒D'O²=2l² ⇒ DO=l√2
sinα=l/l√2 ⇒sinα=1/√2, sau rationalizand numitorul, prin inmultirea numaratorului si a numitorului cu acelasi numar, √2, obtinem
sinα=√2/2.
Deci V=l³, unde V=volumul si l=latura cubului.
Atunci V=6³ ⇒V=216cm³
Diagonalele cubului sunt in numar de patru; sunt egale si unesc varfurile diagonal opuse. Sa calculam AC'.
Folosim pentru aceasta triunghiul ACC'. In acesta, CC' este perpendiculara pe AC fiindca CC' este muchie a cubului si este perpendiculara pe fata ABCD. O perpendiculara pe un plan este perpendiculara pe oricare dreapta din acel plan. Dreapta AC∈planului ABCD, deci CC' este perpendiculara pe AC.
Inseamna ca triunghiul ACC' este dreptunghic in C, iar AC' este ipotenuza in el. Am pute-o afla folosind teoreme luim Pitagora. Cunoastem cateta CC'. Ne trebuie cealalta cateta AC.
Aceasta este diagonala in patratul ABCD, care este fata a cubului. O calculam din triunghiul ABC, dreptunghic in B si isoscel , cu AB=BC=l.
Atunci AC²=l²+l² ⇒AC²=2l².
Acum putem calcula diagonala cubului AC' tinand seama ca CC'=l
AC'²=AC²+CC'² ⇒ AC=√(AC²+CC'²) ⇒AC=√(2l²+l²) ⇒AC=√3l² ⇒AC=l√3.
b)Unghiul a doua plane este dat de unghiul a doua drepte perpendiculare in acelasi punct de pe muchia de intersectie a celor doua plane(numita si muchia diedrului). Muchia diedrului in cazul nostru este AC. Fie dreapta DB∈planului ABCD si deci DB∈planului ABC. Fie O centrul fetei ABCD. El este si punct de intersectie al diagonalelor acestei fete. Aceste stim ca se intersecteaza in parti egale si ca sunt perpendiculare una pe alta. O se afla pe muchia diedrului si pe AB. Retinem doar segmentul DO care este deci perpendicular pe muchia AC a diedrului. Acum demonstram ca DO este perpendiculara pe AC, muchia diedrului. In triunghiul AD'C AD'=D'C, iar AO=OC. Atunci DO este mediana in triunghiul isoscel AD'C. Atunci ea este si mediatoare, deci este perpendiculara pe latura AC.
Insemana ca ungiul format de cele doua plane este unghiul dreptelor DO si D'O.
Pentru a calcula sinusul unghiuli dintre ele ne folosim de triunghiul DOD'.
Acesta este dreptunghic in D fiindca DD' este muchie a cubului si ea este perpendiculara pe fata ABCD si, ca urmare pe orice dreapta din plan. Deci si pe DO. Notam cu α unghiul DOD' al carui sinus il cautam.
sinα=DD'/D'O.. DD'=l, ca muchie a cubului. Ne trbuie D'O.
Din triunghiul dreptunghic DOD' ipotenuza D'O²=D'D²+DO². Aici D'D=l iar DO=DB/2. Pe DB, diagonala fetei l/am calculat anterior DB=AC.
Atunci DO²=2l²/2 ⇒DO²=l²
Atunci D'O=l²+l² ⇒D'O²=2l² ⇒ DO=l√2
sinα=l/l√2 ⇒sinα=1/√2, sau rationalizand numitorul, prin inmultirea numaratorului si a numitorului cu acelasi numar, √2, obtinem
sinα=√2/2.
andreikzro:
Am ramas dator cu punctul c)
Se face asa: Se desface cutia si cei patru pereti laterali care sunt patrate, formeaza dreptunghiul cu baza 4l si inaltimea l. Banda uneste coltul din stanga jos al dreptunghiului cu coltul din dreapta sus al dreptunghiului. Deci este diagonala dreptunghiului.
Lungimea diaginalei se calculeaza in triunghiul astfel format, aplicnd teorema lui Pit. Adica Lbanda=radical din 4lla patrat+l la patrat. Adica Lbanda =lxradical din 5.
Am gresit la c)Corect este asa: Lbanda=radical din 4l totul la patrat+l la patrat. Adica Lbanda=radical din 17l la patrat Adica Lbanda =l ori radical din 17. Acum e bine! Inainte obtinusem Lbanda mai mic decat baza dreptunghiului fiindca l radical din 5 este mai mic decat 3 ori l si este mai mic decat 4 ori l cat era baza dreptunghiului. Asa mi-am dat seama ca am gresit.
Atentie! Volumul este in metri cubi nu in centimetri cubi. Eu am comfundat ^m Cu 6 cm. Pentru celelalte inlocuieste tu pe l pentru a afla valorile numerice, ca eu nu am facut-o.
Alte întrebări interesante
Limba română,
8 ani în urmă
Fizică,
8 ani în urmă
Biologie,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Chimie,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă