Question

O demonstratie ar fi utila ca am fa ut problema dar imi da 1004. Nu inteleg cum as putea demonstra ce cer ca nu prea pare corect.​

Answer 1

Răspuns:

Notam cu sn = 1/2+1/2²+1/2²+...+1/2^n seria progresiei geometrice 1/2^i, i∈[1,n]

Inmultim cu 2 stanga/dreapta:

2sn = 2/2+2/4+2/8+...2/2^n = 1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1) = 1+sn-1/2^n

Reducand sn in stanga si in dreapta, rezulta ca sn = 1 - 1/2^n, deci

1 + s2009 = 1 + 1 - 1/2^2009 = 2 - 1/2^2009, care ∈ (1,2)

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

s=1+1/2+1/2²+1/2³+...+1/2²⁰⁰⁹

Termenii sumei sunt in progresie geometrica  asa ca folosesti formula   sumei

Sₙ=a₁*(qⁿ⁺¹-1)/(1-q) unde    ratia q=1/2 si n=2009

S₂₀₀₉=1*(1-1/2²⁰¹⁰)/(1-1/2)=(1-1/2²⁰¹⁰)/(1/2)=

2(1-1/2²⁰¹⁰)

Observi  ca   paranteza  este  cuprinsa   intre  1/2   si   1

Notam  cu   x paranteza

1/2<x<1

S₂₀₀₉=2x ∈(1 2)