O este punctul de intersecție al diag pătratului ABCD, M este mijlocul laturii AB și N este punctul de intersecție al drepților DM si Ac.
a) arata ca AN=2NO
b) arata ca aria triunghiului MNO este a 24 parte din aria pătratului ABCD
dacă se poate cat mai repede rezolvat, multumesc!:)
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
a) triunghiul NDA asemenea cu triunghiul NMO, deoarece ai două unghiuri opuse la vârf și 2 unghiuri alterne interne NMO și ADN.
Prin urmare NA/NO = AD/MO. Cum MO este jumătate din AD, rezultă AN/NO = 2MO/MO=2, rezultă AN=2NO
b) S MNO= S OAM - S AMN (1)
S OAM = 1/8*S pătratului (2)
S AMN = S ADM - S AND (3)
S ADM = 1/4 S pătratului (4)
S AND = 4* S MNO (raportul de asemănare de la pct a este 2, prin urmare, raportul ariilor va fi 2^2, adică 4) (5)
Să înlocuim totul în (1)
S MNO = 1/8* S patratului - [1/4* S pătratului - 4*S MNO]
3*S MNO=1/8*S pătratului
S MNO=1/24*S pătratului
Explicații mai detaliate la "raportul de asemănare".
Daca in două triunghiuri asemenea, o latura este de k ori mai mare decât cea corespunzătoare din celălalt triunghi, atunci orice latura sau alt segment important, inclusiv înălțimea din triunghiul mare va fi de k ori mai mare decât latura corespunzătoare din triunghiul mic.
Aria triunghiului mare va fi o latura* înălțimea corespunzătoare ei/2
Aria triunghiului mic va fi latura corespunzătoare* înălțimea corespunzătoare ei /2
Așadar aria triunghiului mare va fi k*latura din triunghiul mic * k* înălțimea din triunghiul mic /2, adică k^2*latura mica*înălțimea mica/2, adică k^2* aria triunghiului mic.
Analog la așa.numita asemănare a figurilor in spațiu, daca raportul de asemănare este k, acolo volumul corpului mai mare va fi de k^3 ori mai mare decât volumul corpului mai mic.
O este punctul de intersecție al diag pătratului ABCD, M este mijlocul laturii AB și N este punctul de intersecție al drepților DM si AC
a) arata ca AN=2NO
dem. în∆DAB dreptunghic în A avem
AO și DM mediane=N centrul de greutate al
∆DAB de aici=> AN=2NO
b) arata ca aria triunghiului MNO este a 24 parte din aria pătratului ABCD(notăm jumătate de pătrat l²/2)
diagonala=l√2
AO=l√2/2
dem.∆MNO este rezultatul scăderii ariilor
următoare:
∆DAB-∆DAM-∆OMB-∆DON=
l²/2-l²/4-l²/8-(l√2/2)(l√2/6)/2=
l²/2-l²/4-l²/8-l²/12=l²(1/24)