Question

O grupa de studenti trebuie sa programeze 4 examene ın 8 zile. În câte moduri se poate face aceasta?

Answer 1

Pentru ca tema este pusa la liceu, putem aborda rezolvarea folosind notiunile de permutari, aranjamente si combinari. Avem variantele:
1) daca se dau toate cele 4 examene in aceeasi zi, avem asadar o zi din cele 8 ocupata cu examene si acea zi o putem alege in "combinari de 8 luate cate 1" moduri, adica:

$C_{8} ^{1}$=$\frac{8!}{7!*1!}$=8 moduri

2) daca se dau 3 examene intr-o zi si inca 1 examen in alta zi din cele 7 ramase, atunci ziua cu 3 examene si ziua cu 1 examen le putem alege in “aranjamente de 8 luate cate 2” moduri, deoarece conteaza ordinea zilelor cu 3 examene, respectiv cu 1 examen.

$A_{8} ^{2}$=$\frac{8!}{6!}$=7*8=56 moduri

3) daca se dau 2 examene intr-o zi si inca 2 examene in alta zi, deci acelasi numar de examene pe zi, dar in doua zile diferite din cele 8, inseamna ca nu conteaza ordinea zilelor de examene (avand acelasi numar de examene pe zi), deci avem “combinari de 8 luate cate 2”moduri: 

$C_{8} ^{2}$=$\frac{8!}{6!*2!}$=$\frac{7*8}{2}$=28 moduri

4) daca se dau 2 examene intr-o zi si cate un examen in alte 2 zile diferite, atunci ziua cu 2 examene o putem alege in $C_{8} ^{1}$=8 moduri, pe cand cele 2 zile cu cate 1 examen pe zi le putem alege, dintre cele 7 zile ramase, in $C_{7} ^{2}$=21 moduri, deci in total:  

$C_{8} ^{1}$ * $C_{7} ^{2}$ = 8*21=168 moduri  

5) daca se da cate 1 examen in fiecare zi avem:  

$C_{8} ^{4}$=$\frac{8!}{4!*4!}$=$\frac{5*6*7*8}{2*3*4}$=70 moduri

In total:
8+56+28+168+70=330 moduri in care pot stabili examenele