Question

O insula vulcanica are inaltimea de 100 m. Dupa fiecare an, datorita activitatii vulcanice, insula creste cu 5% din inaltimea pe care a avut-o la inceputul anului.
a) aflati inaltimea insulei dupa 3 ani
b) aratati ca dupa 20 de ani insula va avea cel putin 200m inaltime

Answer 1

a.            5%  · 100 m = 5 · 100 m  / 100  = 5 m 
cresterea  dupa un an   100m  + 5 m = 105 m 
                5 % · 105m = 5 ·105 m /100 = 525 m /100 = 5,25 m 
dupa doi ani       105 m + 5,25m = 110,25 m 
                  5 %  · 110,25 m =  5 · 110,25 m /100 = 5,51 m 
  dupa trei ani             110,25 m + 5,51m = 115,76 m 
SAU   problema se poate rezolva in formula dobanda compusa: 
       dobanda compusa  = suma  [  ( 1 + p%) ( la putrea numar ani ) - 1] 
        = 100m · [ ( 1 + 5% )³  - 1 ]  = 100m ·[ 105³ /100³ -1 ] 
          = 100m  · [105³  - 100³ ] / 100³ =
            =  100m · 5 · [ 105² + 105·100 +100²]   /100³ 
            =   5 m  · [ 11025 + 10500 + 10000 ] / 100² =
             = 5 m · 31525  /10000 = 157625 / 10000 =15,76 aceasta este cresterea  
                     inaltimea insulei  dupa 3 ani  : 
                     100m + 15,76m = 115,76 m 

b .  cresterea dupa 20 ani =
         = 100m · [ ( 1 +5% )²° - 1 ] 
            =  100m · [ ( 1 + 5 /100) ²°  - 1 ]  =  100 m · [( 1 + 1 /20)²° - 1 ] 
            =  100 m · [ 21²°  /20²°  - 1 ] = 100 · [ 2,57 - 1 ] =100 · 1,57 = 157 m 
21 / 20 = 1,05 
1,05² =1,1025 
1,05⁴=1,21 
 1,05⁸= 1,46 
  1,05¹⁶ = 2,13 
  1,05²⁰ = 2,57 
 dupa 20 ani cresterea este  157 m 
inltimea finala  =  100m + 157 m = 257 m  > 200 m