Question

O intrebare mai prostuta, dar nu imi aduc aminte. Cand aduceam la acelas numitor intr-o inecuatie, dispareau numitorii?

Answer 1

Dispare numitorul doar daca numitorul este doar un numar, fara sa il aibe pe x.

Numitorul dispare deoarece inmultim toata inecuatia cu numitorul.

De exemplu, daca ai:

$\dfrac{2x+3}{4} \leq \dfrac{5x+9}{4}\Big|\cdot 4 \\ \\ \not4\cdot \dfrac{2x+3}{\not4}\leq \not4\cdot\dfrac{5x+9}{\not4} \\ \\ \Rightarrow 2x+3\leq 5x+9$

Au disparut numitorii deoarece am inmultit toata inecuatia, in ambii membri cu 4.

Dar daca am avea de exemplu:

$\dfrac{2x+3}{4x-2}\leq \dfrac{5x-9}{4x-2}\Big|\cdot (4x-2)\\ \\ ( aici este o problema, deoarece 4x-2 poate fi ori \ \textless \ 0, ori \ \textgreater \ 0, si \\ stim ca, daca inmultim cu un numar negativ toata inecuatia in \\ ambii membri, sensul inecuatiei se va schimba, in loc sa fie \leq, \\ va fi \geq. De aceea, vom face lucrul acesta:) \\ \\ \dfrac{2x+3}{4x-2} - \dfrac{5x-9}{4x-2}\leq0 \\ \\ \dfrac{2x+3-(5x-9)}{4x-2}\leq0\\ \\ \dfrac{2x+3-5x+9}{4x-2}\leq0 \\ \\ \dfrac{-3x+12}{4x-2}\leq 0$

Si de aici se va rezolva corespunzator inecuatia, cu tabel de semn, etc.

Ideea este ca, numitorul nu "dispare" pur si simplu, el "dispare" deoarece noi inmultim toata inecuatia cu acel numar, si important este ce semn are numitorul, daca e pozitiv sau negativ (ca sa stim daca se schimba sensul inecuatiei sau nu)..

Mai dau un exemplu:

$\dfrac{2x-3}{-5} \leq \dfrac{5x-9}{-5}\Big|\cdot (-5) \\ \\ \Rightarrow -5\cdot\dfrac{2x-3}{-5}\geq -5\cdot\dfrac{5x-9}{-5} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 2x-3 \geq 5x-9$