Question

O minge este aruncată pe verticala de jos în sus cu viteza iniţială v0=10 m/s . Neglijam forţele de frecare cu aerul .Sa se afle :
a) momentele de timp la care mingea trece printr un punct situat la jumătate din valoarea maximă a înălţimii şi să se interpreteze rezultatul obţinut
b) vitezele mingi în momentele de timp calculate la punctul a
c) viteza medie si viteza in modul medie a mingii în intervalul de timp din momentul plecării pana la incetarea prin punctul h=hmax / 2
Dau coroană!

Answer 1

v₀=10m/s
a)
Scriem ecuatia vitezei. Punem apoi conditia ca viteza sa fie nula. Aflam astfel timpul t la care mingea atinge inaltimea maxima h. Apoi scriem ecuatia de miscare (a spatiului) in care introducand valoarea t astfel obtinuta, aflam inaltimea maxima h. Revenim in ecuata spatiului, punem conditia ca y=h/2 si aflam timpul la care se atinge jumatate din inaltimea maxima  h/2.
Am facut planul. Sa-l punem in aplicare:
Ecuatia generala a vitezei mobilului aruncat in sus pe verticala:
v=v₀-gt
Facem v=0 (la punctul de inaltime maxima, mingea se opreste)
0=v₀-gt   ⇒gt=v₀  ⇒t=v₀/g    ⇒t=10/10=1  ⇒t=1s.
Scriem acum ecuatia miscarii mobilului aruncat in sus pe verticala:
y=v₀t-gt²/2
Introducand valoarea lui t=1s, aflam y=h, inaltimea maxima:
h=10×1-10×1²/2=10-5=5m   h=5m
Acum, revenim si, in ecuatia miscarii, facem inaltimea y=h/2. Vom obtine timpul  t1 la care se atinge aceasta inaltime:
y=v₀t-gt²/2  y=h/2
h/2=v₀t1-gt1²/2
gt1²/2-v₀t1+h/2=0. Am obtinut o ecuatie de gradul 2 in necunoscuta t1.
Inlocuim valorile numerice:
10t1²-10t1+2,5=0
t1₁,₂=[10+/-√(10²-4×10×2,5)]/(2×10)
t1₁,₂=[10+/-√(100-100)]/(2×10)
t1=10/20=0,5
t1=0,5s
Observam ca, la jumatate din inaltimea maxima, timpul t1 este si el jumatate din cel necesar ( t ) pentru a atinge inaltimea maxima.
b)
Viteza v1 la momentul t1 se obtine din ecuatia vitezei:
v=v₀-gt, unde inlocuim pe t cu t1 si rezulta viteza v1:
v1=v₀-gt1
v1=10-10×0,5=5
v1=5m/s
c)
Viteza medie, vm, se obtine impartind spatiul total d parcurs de mobil la durata parcurgerii lui t2.
Observam ca spatiul d este suma algebrica a spatiului de urcare si a celui de intoarcere. Cel de intoarcere, avand sens contrar axei Oy, va avea semnul minus:
d=h-h/2.⇒ d=5-2,5=2,5m
t2=t+t1  ⇒ t2=1+0,5=1,5s
Atunci
vm=d/t2=2,5/1,5=5/3m/s
vm=5/3m/s
Viteza in modul medie, vmm, este data de raportul dintre suma d1 a distantelor parcurse de mobil fiecare luata in modul si timpul total t2 (este acelasi) de parcurgere a lor
d1=h+h/2  ⇒d1=5+2,5=7,5m
t2=t+t1      ⇒t2=1+0,5=1,5s
vmm=7,5/1,5=5
vmm=5m/s