Question

O piramida hexagonala regulata SABCDEF are muchia bazei AB = a si muchia laterala AS = 2a. Determinați :

a) volumul si aria totala a piramidei;

b) o funcție trigonometrica a unghiului plan corespunzător unghiului diedru dintre planele (SAB) si (SDE).

Answer 1

notam h=inaltimea piramidei
Ap apotema unei fete laterale (de ex SAB care este un triunghi isoscel cu laturile egale 2a si baza a)  deci Ap²=SA²-AB²/4=4a²-a²/4=15a²/4
ap=apotema bazei hexagonale, care reprezinta chiar inaltimea in triunghiul OAB (O centru hexagonului)
ap²=a²-a²/4=3a²/4
cu acestea calculate putem afla inaltimea piramidei
h²=Ap²-ap²=12a²/4=3a²    h=a√3
Aria bazei hexagonale este compuse din 6 arii de triunghiuri echilaterale de latura a Ab=6*ap*AB/2=6*a√3*a/4=a²*3√3/2
deci in final volumul V=Ab*h/3=3a²√3/2*a√3/3=3a³/2

pentru a construi unghiul diedru dintre cele 2 plane ducem prin varful S o dreapta (d) paralela cu AB si bineinteles ca va fi paralela si cu ED [(d) va fi continuta atat de planul (ABS) cat si de (SDE), fiind o dreapta paralela cu drepte din aceste plane si totodata are un punct S continute in plane]. Daca M este mijlocul lui AB si N este mijlocul lui ED, SM si SN sunt perpendiculare pe AB, respectiv ED, deci si pe (d) in punctul S
Concluzie: am construit unghiul diedru cautat ∡MSN, care respecta definitia: unghiul dintre 2 plane se afla ducand pe dreapta comuna a planelor (d), 2 perpendiculare (NS i planul SDE si MS in planul SAB) in acelasi punct S.
pentru a aplica o functie trigonometrica unghiului∡MSN ne incadram in triunghiul isoscelΔMSN cu SN=SM=Ap=a√15/2   si NM=2*ap=a√3
sin(∡NSM/2)=ap/Ap=a√3/2 / a√15/2=1/√5
cos(∡NSM)=h/Ap=a√3/a√15/2=2/√5
 din care se deduce usor sin∡MSN= 2sin(∡NSM/2)*cos∡NSM/2=2*1/√5*2/√5=4/5