Question

O piramida patrulatera regulata are sectiunea diagonala un triunghi echilateral, iar lungimea h este egala cu 4 radical din e cm. Calculati:
a) lungimea laturii bazei
b)aria laterala a piramidei
c)cosinusul unghiului plan al diedrului format de doua fete laterale alaturate.

Answer 1

Fie piramida VABCD din enunt.
a) VO=4$\sqrt{2}$ cm

Notam cu 2a=VA=muchia laterala a piramidei
Observam ca VO este inaltime in triunghiul echilateral AVC, deci VO este si mediana, deci OA=OC=a si cum VO este si bisectoare, inseamna ca m(<OVA)=30 grade, deci in triunghiul dreptunghic VOA, cum cateta care se opune unghiului de 30 grade este jumatate din ipotenuza, rezulta ca VA=2a si aplicam Teorema lui Pitagora:

$VA^{2} = OA^{2} + OV^{2}$

$(2a)^{2} = a^{2} + (4 \sqrt{2} )^{2}$, deci

4$a^{2}$ =$a^{2}$+32

3$a^{2}$ = 32

$a^{2}$=$\frac{32}{3}$

a=4$\sqrt{ \frac{2}{3} }$=4$\frac{ \sqrt{6} }{3}$ cm

AC=2a=8$\frac{ \sqrt{6} }{3}$ cm=AD$\sqrt{2}$, deci

AD=8$\frac{ \sqrt{3} }{3}$ cm este latura bazei

b) Construim OM perpendicular pe AB, cu M pe AB si deci VM perpendicular pe AB (cu Teorema celor 3 perpendiculare).

OM=$\frac{AD}{2}$=4$\frac{ \sqrt{3} }{3}$ cm

si in triunghiul dreptunghic OVM, cu Teorema lui Pitagora,avem:

$VM^{2} = OM^{2} + OV^{2}$

VM=4$\sqrt{ \frac{7}{3} }$ cm este inaltimea in triunghiul VAB, deci putem sa calculam aria unei fete laterale, VAB:

$\frac{VM*AB}{2}$=4$\sqrt{ \frac{7}{3} }$*8$\frac{ \sqrt{3} }{3}$/2=16$\frac{ \sqrt{7} }{3}$  $cm^{2}$

c) Construim AN perpendicular pe VD, deci si CN va fi perpendicular pe VD, deoarece triunghiurile isoscele VAD si VDC sunt congruente (L.L.L.), deci inaltimile corespunzatoare unghiurilor de la baza vor "pica" in acelasi punct pe VD, adica in N si, in plus, inaltimile sunt si ele respectiv congruente, iar inaltiile corespunzatoare bazei unui triunghi isoscel sunt congruente, deci triunghiul NAC este isoscel, cu NA=NC.
Unghiul diedru format de fetele laterale (VAD) si (VDC) este <(ANC).
Vom calcula cos(<ANC) exprimand in doua moduri aria triunghiului NAC:
Cum O este mijlocul lui AC, inseamna ca NO perpendicular pe AC, deci NO este inaltime in triunghiul NAC.
Aria tr NAC=NO*AC/2=NA*NC*cos(<ANC)/2

Gasim AN =NC inaltimi in tr VAD, respectiv tr VDC, exprimand in doua moduri ariile acestor triunghiuri.