Question

O piramida patrulatera regulata VABCD, cu baza ABCD, are AB=6 radical din 2 cm si volumul V=144 radical din 3 cm
a Calculati lungimea inaltimii VO a piramidei VABCD.
b Calculati măsura c Calculati d(O, (VBC)).
d Aratati ca Al• d(O, (VBC)) = 3*V, unde Al este aria laterala a piramidei VABCD.

Answer 1

AB=6√2 cm

V=144√3 cm³

a) Stim ca formula volumului este:

$V=\frac{A_b\times h}{3}$

$A_b=l^2$

$A_b=l^2=(6\sqrt{2} )^2=72\ cm^2$

Am aflat aria bazei, vom inlocui in formula volumului pentru a afla inaltimea

$144\sqrt{3} =\frac{72\times VO }{3} \\\\VO=\frac{144\sqrt{3} \times 3}{72} \\\\VO=6\sqrt{3} \ cm$

VO=6√3 cm

b) d(O,(VBC))=ON

Ducem VM⊥BC

VM⊂(VBC)

Ducem ON⊥VM, trebuie sa calculam ON

ON este inaltime in ΔVOM dreptunghic in O, adica ON este raportul dintre produsul catetelor si ipotenuza

$ON=\frac{VO\times OM}{VM}$

OM este apotema bazei si este egala cu jumatate din lungimea bazei, adica OM=6√2:2=3√2 cm

In ΔVOM, aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza) pentru a afla VM

VM²=VO²+OM²

VM²=108+18=126

VM=3√14 cm

$ON=\frac{6\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} }{3\sqrt{14} } =\frac{6\sqrt{21} }{7} \ cm$

c)

$A_l=\frac{P_b\times a_p}{2} \\\\a_p=VM\\\\P_b=4\times AB=24\sqrt{2}\ cm\\\\ A_l=\frac{24\sqrt{2}\times 3\sqrt{14} }{2}=72\sqrt{7}\ cm^2$

$72\sqrt{7}\times \frac{6\sqrt{21} }{7} =432\sqrt{3}\\\\V=144\sqrt{3} \ cm^3$

Din ultimile doua⇒ $72\sqrt{7}\times \frac{6\sqrt{21} }{7} =3\times V\\\\A_l\times d(O,(VBC))=3\times V$