Question

O piramida triunghiulara regulata are aria laterala egala cu 18 cm² , iar aria totala egala cu 9(2+√3) cm ² .
a) Aratati ca latura bazei este egala cu 6 cm .
b) Calculati volumul piramidei .
c) Determinati cosinusul unghiului format de o muchie laterala cu planul bazei .

Answer 1

Fie piramida VABC si O piciorul înălțimii, iar M mijlocul lui BC.
$A_t=A_l+A_b\Rightarrow A_b=A_t-A_l=9(2+\sqrt3)-9=9\sqrt3\ cm.$

$\dfrac{AB^2\cdot\sqrt3}{4}=9\sqrt3\Rightarrow AB=6\ cm.$

OM este apotema in triunghiul echilateral ABC, deci:

$OM=\dfrac{AB\cdot\sqrt3}{6}=\sqrt3\ cm.$

$A_l=\dfrac{P_b\cdot A_p}{2}\Rightarrow 18=\dfrac{18\cdot VM}{2}\Rightarrow VM=2\ cm$

Cu teorema lui Pitagora obtinem:

$VO^2=VM^2-OM^2=1\ cm$

$V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}=\dfrac{9\sqrt3\cdot1}{3}=3\sqrt3\ cm^3$

$AO=2\cdot OM=2\sqrt3\ cm;\ \ VA^2=VO^2+AO^2\Rightarrow VA=\sqrt{13}\ cm.$

$cos(\widehat{VAO})=\dfrac{AO}{VA}=\dfrac{2\sqrt3}{\qrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}.$