Question

O piramida triungiurala regulata are apotema =12cm si inaltimea =6cm .Sa se afle :
a) Aria totala si volumul piramidei
b) masura unghiului diedru format de o fata laterala cu planul bazei
c) diatanta de la un varf al bazei la fata opusa ei

Answer 1

piramida are baza un triunghi echilateral de latura l=AB=AC=BC. Fie V varful ei si inaltimea VO=h=6 cm, 
fie M mijlocul lui BC, apotema va fi VM=a=12
in triunghiul de baza ABC aflam rapid ca AM=l*rad3/2, iar punctul de intalnire al inaltimilor, medianelor, bisectoarelor este O (unde cade si inaltimea piramidei). Acest O are propietatea ca se afla la 2/3*AM de orice varf (A,B,C) si la 1/3*AM de laturile lui ABC.
In triunghiul VMO aplicam Pitagora
OM^2=VA^2-VO^2=144-36=108   OM=6rad3
dar OM=1/3(l*rad3/2)=l*rad3/6=6rad3 deci l=36 si AM =3*36=108
Abaza=AM*BC/2=108*36/2
V=Ab*h/3=108*36/6=108*6 cm^3
Atot=Ab+3*Afata
Afata =VM*l/2=12*36/2=6*36
Atot=108*18+18*36 cm^2

unghiul diedru dintre doua plane se poate masura daca gasim doua perpendiculare, in acelasi punct, pe dreapta de intersectie a planelor
avem planul unei fete (VBC) si planul bazei (ABC). Se observa ca apotema VM si inaltimea AM indeplinesc conditiile de a forma unghiul diedru(este fiecare intr-unul dintre plane si ambele sunt perpendiculare in M pe dreapta comuna BC.
aplicam in triunghiul dreptunghic VMO o functie trigonometrica convenabila
sin(VMO)=VO/VM=6/12=1/2 Din tabele rezulta ca unghiul diedru are valoarea 30 grade.

trebuie sa construim perpendiculara din A la planul ABC. 
se vede ca VO perpendiculara pe planul ABC, deci pe orice dreapta din plan
    VO perpendiculara peBC sau BC perpendiculara pe VO
     BC perpendiculara pe VM 
cele doua conduc la BC perpendiculara pe planul (VMA)
in triunghiul VMA ducem inaltimea din A (AR) pe VM
   
   avem ca AR perpendiculara pe VM
                   AR perpendiculara pe BC (fiindca BC perpendiculara pe toate dreptele din planul VMA, asa cum am demonstrat mai sus)
din aceste ultime date obtinem ca VR perpendiculara pe doua drepte concurente (BC si VM) ce apartin planului VBC, deci VR este chiar distanta de la A la plan
sa calculam pe VR
in triunghiul dreptunghic ARM stim ca M=30 grade (e unghiul diedru gasit mai sus)
aplic sinM=AR/AM  deci AR=AM*sin30=108/2=54cm