Question

O planeta X cu aceeasi densitate ca a Terrei, are masa de 8 ori mai mica. Daca acceleratia gravitationala la suprafata Terrei este $g = 10 m / s^{2}$, cat va fi valoarea acceleratiei gravitationale la suprafata planetei X?

Answer 1

Răspuns: acceleratia gravitationala a planetei X  = g₁ = 5 m/s²  

Explicație:

Mai intai, ceva despre gravitatie :  

pornim de la legea atractiei universale a lui Newton  

F = γ m₁ m₂ / r²  

F  = forta gravitationala dintre doua mase m₁ si m₂, aflate la distanta r unul de celalalt ( distanta dintre centrele lor de masa).

Pentru un obiect m₂ de dimensiuni mici, aflat la suprafata unei planete, de exemplu, distanta r reprezinta raza planetei.

γ este constanta gravitationala, ( 6.672 x 10⁻¹¹ m /kg s² - cea masurata de Cavendish)

mai stim, tot de la Newton, ca   F = masa x acceleratia = m x a

de aici,  a = F / m .  

daca forta din formula este forta gravitationala, acceleratia reprezinta chiar acceleratia gravitationala  

a = g = F / m  

Ne intoarcem la formula fortei gravitationale  F = γ m₁ m₂ / r²  

daca m₁ este masa planetei si m₂  este masa unui corp oarecare aflat la suprafata, acceleratia gravitationala a planetei m₁ - evidentabila fata de corpul  m₂ -  este  

g = F/m₂ =  γ m₁ m₂ /m₂ r² = γ m₁ / r²  

pentru Pamant,  

g =  γ m / r² = 10  m/s²

Stim ca masa planetei m₁ este mai mica de 8 ori decat masa Pamantului;

din studiul densitatii stim ca densitatea = masa / volum  

masa planetei respective este de 8 ori mai mica decat a Pamantului,  

m1 = m P / 8  

densitatea Pamantului = masa pamant / Volum pamant

densitatea planetei = masa planeta / Volum planeta

m pamant / V pamant = m planeta / V planeta

V planeta = m planeta x Volum pamant / m pamant = volum pamant / 8

Volumul planetei este de 8 ori mai mic decat al Pamantului  

consideram ca si Pamantul, si planeta respectiva, aproximeaza niste sfere

Volumul sferei = 4π R³ / 3 ,

Vpamant = 8 V planeta

4πR³/3 =  8 x 4πr³/3     R = raza pamantului , r = raza planetei respective

R³ = 8 r³  

R = ∛(8r³) = 2r

R = 2r   raza planetei respective este de 2 ori mai mica decat raza Pamantului.  

am aflat mai sus ca  g = γ m₁ / r²  

pentru Pamant, g = 10 m/s² = γ m / r²  

pentru planeta respectiva, g₁= γ m₁ /  r₁²  

g / g₁ = γ m / r²  / γ m₁  / r₁²   = (m /m₁)  x  (r₁² / r² ) = 8  x  (1/2)² = 8 : 4= 2  

g₁ = g:2 = 10 m/s² : 2 = 5 m/s²