Question

O prisma patrulatera regulata ABCDA'B'C'D' are aria bazei ABCD egala cu 8 cm si aria sectiunii diagonale D'B'BD egala cu 24 cm. Calculati:
a)Aria totala a prismei
b)d(M;AB) unde M este mijloculul diagonalei [D'B]
c)d(M;(ADD'))

Answer 1

Notăm latura bazei $\it AB=\ell$

$\it \mathcal{A}_b = \ell^2 =8\Rightarrow \ell=\sqrt8=\sqrt{4\cdot2} = 2\sqrt2\ cm \Rightarrow AB = 2\sqrt2\ cm$

$\it\ BD-\ diagonala\ bazei \Rightarrow BD=\ell\cdot \sqrt2 = 2\sqrt2\cdot \sqrt2 = 2\cdot2=4\ cm$

BDD'B' -secțiune diagonală

Aria(BDD'B') = BD·BB' = 24 ⇒ 4·BB' = 24 ⇒ BB' = 6cm ⇒

⇒  h = 6cm (înălțimea  prismei).

[tex]\it \mathcal{A}_t =\mathcal{A}_{\ell} +2\mathcal{A}_b =4\cdot \mathcal{A}_{ABB'A'}+2\cdot8= 4\cdot AB\cdot BB'+16 = \\ \\ = 4\cdot2\sqrt2\cdot6 + 16 = 48\sqrt2+16 =16(3\sqrt2+1)\ cm^2[/tex]


b) Fixăm punctul M, mijlocul lui BD'. Proiectăm M pe planul (ABC) în O,

mijlocul diagonalei BD. Se observă că MO -linie mijlocie în ΔD'DB ⇒

MO = D'D/2 = h/2 = 6/2 = 3cm.

Fie OF⊥ AB ⇒ OF - linie mijlocie în ΔABD ⇒ OF = AD/2 = 2√2/2=√2 cm

Avem : 

MO⊥(ABC),  OF⊥AB și  OF, AB ⊂(ABC), rezultă, din teorema celor trei

perpendiculare,  că MF⊥ AB ⇒ d(M, AB) = MF.

Cu teorema lui Pitagora în triunghiul MOF ⇒ MF² = MO² + OF²⇒

MF² = 3² + (√2)² = 9 + 2 = 11 ⇒ d(M, AB) = √11 cm


c) Fie D'A ∩ A'D = {Q} ⇒ MQ- linie mijlocie în Δ D'AB ⇒ MQ||BA.

Dar, BA ⊥ (ADD'), deci  MQ ⊥ (ADD') ⇒ d[M, (ADD')] = MQ = AB/2 = √2cm