Question

O prisma patrulatera regulata dreapta ANCDA'B'C'D' are latura bazei AB=a cm si inaltimea AA' = a√3 cm. Se noteaza BC' ∩ B'C = {O}.iar D'O=6√2 cm (a>0),a) Calculati lungimea laturii AB,determinand valoarea lui a,b)Calculati aria triunghiului AOD'. c)Calculati valoarea sinusului unghiului determiat de dreptele AO si BD. Va rog,am nevoie de rezolvare.

Answer 1

a) Mai intai, demonstram ca triunghiul OC'D' este dreptunghic.
Stim ca BC ⊥ (DCC') (deoarece BC ⊥ CD - ABCD patrat si BC ⊥ CC' -CDD'C' dreptunghi si CD si CC' sunt drepte concurente)

Deci, BC ⊥ (DCC') (1)
Avem si CC' ⊥ C'D' (2)
CC', C'D' ⊂ (DCC') (3)

Atunci, din 1,2,3 (Teorema celor trei perpendiculare ) ⇒ BC' ⊥ C'D'

Deoarece {O} = BC' ∩ B'C ⇒ OC' ⊥ C'D' ⇒ m(<OC'D')=90°  ⇒ ΔOC'D' dreptunghic.

In triunghiul BCC' dreptunghic, prin teorema lui Pitagora aflam pe 
BC' in functie de a:
BC'² = BC² + CC'² = a² + a² * 3 =4a² => BC' = 2a

Dar O este mijlocul diagonalei [BC'], atunci OC' = BC'/2 => OC'=a

Si D'C' = AB = a (muchiile bazelor sunt egale)

In triunghiul OC'D' dreptunghic aplicam teorema lui Pitagora:

OD'² = OC'² + C'D'²  => 72 = a²  + a²  => 72 = 2a²|:2 => a² =36 => a = 6

Dar AB = a => AB = 6 cm.

b) Deoarece am aflat pe a = 6 putem sa scriem si celelalte lungimi mai usor:
AA' = 6√3 cm
 BC' = 2 * 6 => BC' =12 cm
 OC' = OB = 6 cm

Deducem si ca C'B ⊥ AB si ca ABC'D' este dreptunghi:
AB || C'D' si AB = C'D' si ca m(<BC'D') = 90° 

Aflam aria triunghiului AOD' prin "decupare"(Scadem din aria dreptunghiului ariile celor doua triunghiuri dreptunghice formate)

A(ABC'D') = L * l = BC' * AB => A(ABC'D')=12 * 6 √3 =>
=> A(ABC'D')=72√3 cm²

Triunghiurile OBA si OC'D' dreptunghice sunt congruente in cazul cateta cateta (C.C):
AB = CD=6 cm si BO = OC'=6 cm

Daca sunt congruente, ele sunt si echivalente(au aceeasi arie):

A(OBA) = (c1 * c2) / 2 = (AB * BO) /2 = (6 * 6) / 2 = 36 / 2 =>
=> A(OBA) = A(OC'D')=18 cm²

Scriem aria dreptunghiului ABC'D' ca suma ariilor suprafetelor formate:
A(ABC'D')=A(OBA)+A(AOD')+A(OC'D') =>
=>72√3 = 18 + A(AOD') + 18 => A(AOD')=72√3 - 36 => A(AOD')=36(2√3-1) cm²
c) LA Acest subpunct este putin mai greu, ti-as sugera sa intrebi pe domnul/doamna profesoara de matematica cand faci orele sau daca ai numarul de telefon. Este foarte util sa intrebi acolo unde nu iti iese.
Sper ca te-am lamurit la ultimele subpuncte, dar la ultimul subpunct este mai greu. Intreaba pe profesor/profesoara.
Bafta la Evaluare Nationala!