Question

OFER 45 DE PUNCTE
O piramida patrulatera regulata are muchia laterala de 18 cm si inaltimea 9 radical din 2 cm.
a) Calculati aria laterala si volumul piramidei
b) Aflati cosinusul unghiului diedru format de sectiunea diagonala si o fata laterala.
c) Calculati tangenta unghiului plan corespunzator diedrului format de o fata laterala cu planul bazei. E urgent.

Answer 1

a)
VE apotema piramidei, OE apotema bazei
pitagora in VAO, AO=√(AV^2-VO^2)=√(18^2-2 x 81)
AO=9√2 cm, AC=18√2 cm, latura bazei AD=18 cm
fetele laterale sunt triunghiuri echilaterale cu latura de 18 cm
VE=18√3/2=9√3 cm
aria laterala Al=4 x AB x VE/2
Al=324√3 cm2
V=AB^2√3/4 x VO/3=243√2 cm3
b)
aleg (VAB) si (VAC)
tr. VOA este dreptunghic isoscel, ducem OM⊥AV, OM∈(VAC), AM=MV
in tr. echilateral VAB, BM este mediana si inaltime, rezulta:
OM⊥AV
BM⊥AV ⇒ m∡((VAB);(VAC))=m∡(BM;OM)=m∡BMO
BO=AO=9√2 cm
MB=VE=9√3 cm
BD⊥(VAC) ⇒ OM⊥BO ⇒ tr. BMO este dreptunghic in O
OM este mediana in tr. dr VOA, OM=AV/2=9 cm
cos (BMO)=OM/MB=9/9√3
cos(BMO)=√3/3
c)
aleg (VAB)
m∡((VAB);(ABCD))=m∡(VE;EO)=m∡VEO, simplu de justificat
tg(VEO)=VO/EO=9√2/9
tg(VEO)=√2