Question

Ofer 50 de puncte pe exercitiu

Answer 1

(( a ))

AB║CD ⇒ ∡DAB + ∡CDA = 180°  (interne de aceeași parte a secantei)

⇒ ∡CDA = 180° - 60° = 120°

AD ≡ DC ⇒ ΔADC isoscel cu baza AC

⇒ ∡DAC ≡ ∡DCA

suma lor este ∡DAC + ∡DCA = 2 · ∡DCA = 180° - ∡CDA

2 · ∡DCA = 60°

∡DCA = 30°

O proprietate a trapezului isoscel este aceea că unghiurile alăturate unei aceleiași baze sunt congruente.

⇔ ∡DCB ≡ ∡CDA = 120°

⇒ ∡ACB = ∡DCB - ∡DCA

∡ACB = 120° - 30° = 90°

⇔ AC ⊥ BC

(( b ))

am arătat mai sus că ∡DAC = ∡DCA = 30°

din ipoteză știm că ∡DAB = 60°

⇒  ∡CAB = ∡DAB - ∡DAC

∡CAB = 60° - 30° = 30°

⇒ în ΔACB dreptunghic în C avem un unghi de 30°

⇒ BC = AB / 2

M mijlocul lui AB  ⇒  BC ≡ MB

din proprietatea trapezului isoscel menționată mai sus reiese că

∡CBA = 60°

⇒ ΔMCB isoscel cu un unghi de 60°

⇒ ΔMCB echilateral

⇒ ∡CMB = 60°

avem și ∡DAB = 60°

considerăm dreptele AD și CM cu AM secantă ⇒ avem unghiuri corespondente congruente ⇒ AD║CM

știm că AM║CD (din ipoteză)

⇒ în patrulaterul AMCD avem laturile opuse paralele două câte două

⇒ AMCD paralelogram

ΔMCB echilateral  ⇒ MC ≡ BC

din ipoteză știm că BC ≡ AD ≡ DC

⇒ MC ≡ DC

⇒ AMCD paralelogram cu două laturi alăturate congruente

⇒ AMCD romb