Question

ONM 2016............

Answer 1

Răspuns:

8044

Explicație pas cu pas:

Trebuie să aflăm x,y∈N astfel încât ele au proprietatea $\frac{2010}{2011}<\frac{x}{y} <\frac{2011}{2012}$.

Fracția $\frac{x}{y}$ este subunitară, prin urmare x<y, sau x=y-d, unde d este un num[r natural nenul. (∀d∈N*)

Astfel, relația dată se poate scrie astfel:

$\frac{2011-1}{2011}<\frac{y-d}{y}<\frac{2012-1}{2012}$ (Am scris numărătorii ca niște diferențe în care se găsește termenul de la numitor.) ⇔

⇔ $1-\frac{1}{2011}<1-\frac{d}{y}<1-\frac{1}{2012}$ (Am scris despărțit numărătorii și am scris fracțiile ca diferențe.) ⇔

⇔ $\frac{1}{2011}>\frac{d}{y}>\frac{1}{2012}$ (Am scăzut 1 din toți termenii și am schimbat semnul pentru că am înmulțit apoi cu -1.) ⇔

⇔ $\frac{d}{2011d}>\frac{d}{y} >\frac{d}{2012d}$ (Am amplificat prima și a treia fracție cu d, pentru a avea toți numărătorii identici.) ⇔

⇔ $2011d<y<2012d$ (Am scris condiția ca seria de fracții de mai sus să existe.) Vom nota această relație cu 1.

Pentru d=1, relația 1 nu este posibilă. (2011<y<2012, dar y∈N, deci nu e posibil)

Pentru d=2, avem 4022<y<4024, de unde y=4023. Obținem x=4021. Atunci, x+y=8044.

Pentru d≥3, avem 4021d≥12063. Avem x+y=2y-d. Din relația y>2011d obținem că 2y-d>4021d≥12063.

Prin urmare, valoarea minimă  a sumei se obține când d=2 și x+y=8044.