Question

Ouroboros Weekly Challenge!

Mate: Daca a,b,c sunt numere reale pozitive, sa se demonstreze inegalitatile:
a) a^3+b^3+c^3 mai mare sau egal cu 3*a*b*c
b)a^2+b^2+c^2 mai mare sau egal cu ab+ac+bc

Engleza:Traduceti si apoi scrieti in "Reported speech":
a) "I like it here", she said.
b) "She has been my roommate since yesterday".

Answer 1

Salut,

Se aplică inegalitatea mediilor (media aritmetică este mai mare sau egală decât cea geometrică):

$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geqslant\sqrt[3]{a^3\cdot b^3\cdot c^3}=abc,\;deci\;a^3+b^3+c^3\geqslant abc.\\\\(a-b)^2\geqslant 0\\(b-c)^2\geqslant 0\\(c-a)^2\geqslant 0$

Le însumăm, membru cu membru:

$a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\geqslant 0,\;sau\\2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\geqslant 0\;|(:2)\Rightarrow\\\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ac.$

Green eyes.