Question

Partea intreaga a numarului real $1+\frac{1}{2} +\frac{1}{2 ^{2} } +.......\frac{1}{2 ^{2011} }$ este?

Answer 1

Salut,

Notăm cu S suma din enunţ. Termenii ei formează o progresie geometrică cu raţia q=1/2<1, primul termen este b1=1.

Să aflăm n, numărul de termeni ai sumei: primul termen este 2 la puterea 0, al doilea este 2 la puterea -1, al treilea este 2 la puterea -2, şi aşa mai departe. Ultimul termen este 2 la puterea -2013. Dacă analizăm doar puterile, avem 0, -1, -2, ..., -2011, deci avem 1 + 2011 => n = 2012.

Suma progresiei geometrice este: 

$S=b_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}=1\cdot\frac{1-\dfrac{1}{2^{2012}}}{1-\dfrac{1}{2}}=2\cdot\left(1-\dfrac{1}{2^{2012}}\right)=2-\dfrac{1}{2^{2011}}.$

Valoarea se află între 1 şi 2, deci partea întreagă căutată este egală cu 1.

Green eyes.