Question

pătratele ABCD si CDD'C' de latură a cm, sunt situate în plane perpendiculare. Calculați: Măsura unghiului planelor (BC'D') și (CBD')

Answer 1

BC⊥CC', si BC⊥CD ⇒ BC⊥(DCC'D') ⇒ BC⊥CD' ⇒ triunghiul BCD' este dreptunghic in C
pentru a pune in evidenta unghiul dintre (BC'D') si (BCD') observam ca linia comuna este BD'
ducem:
CM⊥BD', CM∈(BCD')
MN⊥BD' , MN∈(BC'D')
unghiul diedru cautat este ∡CMN
in triunghiul dreptunghic BCD' avem: BC=a, CD'=a√2, BD'=a√3
MC este inaltime, MC=a√6/3
cu teorema catetei: BC^2=BM x BD'
BM=a√3/3
in triunghiul dreptunghic BC'D' avem: BC'=a√2, C'D'=a, BD'=a√3, MN⊥BD' si MB=a√3/3
MN=a√6/6, BN=a√2/2
in triunghiul dreptunghic BCC' avem: BC=CC'=a, BC'=a√2, BN=a√2/2
NC=a√2/2

in final avem triunghiul CMN cu laturile:
MC=a√6/3, MN=a√6/6 si NC=a√2/2
teorema cosinusului:
NC^2=MC^2+MN^2 - 2 x MC x MN cos(∡CMN)
2a^2/4=6a^/9+6a^2/36 - 2 x 6a^/18 cos(∡CMN)
cos(∡CMN)=1/2 ⇒ ∡CMN=60°