Question

Pătratele unitate ale unei table 2016 x 2016 se colorează cu roşu sau albastru astfel încât să fie îndeplinite următoarele două condiţii:
1.orice pătrat unitate roşu care nu este situat pe marginea tablei are exact 5 vecini albaştri între cele 8 pătrate unitate cu care se învecinează(cu care are măcar un punct comun);
2.orice pătrat unitate albastru care nu este situat pe marginea tablei are exact 4 vecini roşii între cele 8 pătrate unitate cu care se învecinează.
Câte dintre pătratele unitate ale tablei sunt roşii?

Answer 1

Răspuns

1344²

Explicație pas cu pas:

Impartim tabla in patrate 3×3. Ne uitam la patratul unitate care se afla in centrul unui asemenea patrat 3×3. Daca este rosu, atunci el are 5 vecini albastri, deci in patratul 3×3, vor fi, cu tot cu patratul rosu din mijloc, 4 patrate unitate rosii si 5 albastre. Daca patratul unitate din mijloc este albastru, el are 4 vecini rosii, deci si in acest caz patratul 3×3 este constituit  din 4 patrate unitate rosii si 5 albastre. In total sunt 672² patrate 3×3 si fiecare contine cate 4 patrate rosii, deci 4·672²=1344² patrate unitate rosii.

REMARCA: exista colorari care respecta conditiile din enunt. De exemplu, daca numerotam liniile si coloanele de la 1 la 2016, putem colora cu albastru toate patratele care au fie ambele coordonate divizibile cu 3, fie niciuna. O alta colorare care respecta enuntul este cea in care coloram albastre patratele care au cel putin una din coordonate divizibila cu 3.