Question

Pătratul este impartit in patru părți cu aceeași arie A.
Exprimați lungimea lui d in funcție de A

Answer 1

Explicație pas cu pas:

notez latura pătratului cu 12x

prin punctele de intersecție ducem perpendiculare pe laturile pătratului

Aria = 4A => 4A = (12x)² => A = 36x²

$\implies x = \dfrac{ \sqrt{A} }{6}$

în ΔADH:

$A = \dfrac {AD \cdot DH}{2} \\ 72 {x}^{2} = 12x \cdot DH \implies DH = 6x$

=> H este mijlocul laturii DC => F este mijlocul laturii AB => BF = 6x => MG = 6x

în ΔAPB:

$A = \dfrac {PN \cdot AB}{2} \\ 72 {x}^{2} = PN \cdot 12x \implies PN = 6x$

=> P este mijlocul lui AH

=> PN este linie mijlocie în ΔAHF => N este mijlocul segmentului AF => AN = 3x => BN = 9x

ΔBFM ~ ΔBNP

$\dfrac{BF}{BN} = \dfrac{MF}{PN} \iff \dfrac{6x}{9x} = \dfrac{MF}{6x}$

=> MF = 4x => BG = 4x => CG = 8x

în ΔCGM: CM² = CG² + MG²

d² = (6x)² + (8x)² = 100x² => d = 10x

$d = 10 \cdot \dfrac{ \sqrt{A} }{6} \implies \bf d = \dfrac{5\sqrt{A} }{3}$