Question

Patrulater ABCD are toate laturile tangente la un cerc . Demonstrati ca AB+CD =AD+BC. 
 Ajutati-ma va rog ! 

Answer 1

desenam un cerc si apoi construim in jurul lui un patrulater.
ducem raze perpendiculare pe laturile patrulaterului
Asadar avand un cerc inscris intr-un patrulater, acesta determina niste relatii interesante.
Ce se da:
Un patrulater ABCD are toate laturile tangente la un cerc.
Se cere sa se demonstreze ca sumele laturilor opuse sunt egale, adica AB + CD = DA + BC
Rezolvare:
Observam ca tangenta la cerc a laturilor patrulaterului  este posibila daca se creaza niste Δ echilaterale.
Sa notam punctele de tangenta cu M, N, P si Q pentru punctele de tangenta la laturile AB, BC, CD respectiv DA.
Si avem:
AB = AM + MB
AM = AQ
MB = BN
deci AB = AM + MB = AQ + BN

Pentru latura CD, avem:
CD = CP + PD
CP = CN
PD = DQ
deci CD = CP + PD = CN + DQ

Sa insumam laturile AB si CD:
AB + CD = AQ + BN + CN + DQ = DA + BC

Rezolvat