Question

Patrulaterele ABCD și ABEF sunt paralelograme. Demonstrați că EFDC este paralelogram.

/

În patrulaterul ABCD, unghiul A este suplementul unghiurilor B și D. Demonstrați că ABCD este paralelogram.

Vreau răspunsurile cât mai detaliate și clare.

Answer 1

a) Una din conditiile ca un patrulater sa fie paralelogram este ca doua laturi opuse sa fie si paralele si congruente. Daca stim ca un patrulater este paralelogram , deducem din proprietatile sale urmatoarele :
daca ABCD este paralelogram atunci AB // CD (1) si [AB]≡[CD] (2)
daca ABEF este paralelogram atunci AB // EF (3) si  [AB]≡[EF] (4)
Din relatiile (1) si (3) prin tranzitivitatea relatiei de paralelism  ⇒ CD // EF  (5)
Din relatiile (2) si (4) prin tranzitivitatea relatiei de congruenta⇒ [CD]≡[EF] (6)
Din relatiile (5) si (6) se observa ca patrulaterul EFDC indeplineste conditiile ca doua laturi opuse [CD] si [EF] sa fie si paralele (vezi (5)) si congruente (vezi (6)) ,   deci EFDC este paralelogram .
b) O alta conditie ca un patrulater sa fie paralelogram este ca oricare pereche de unghiuri alaturate sa fie suplementare (adica sa aiba suma masurilor egala cu180°)
Daca ∡A este suplementul ∡B si ∡D (1)⇒ ∡B≡∡D deoarece au acelasi suplement ∡A .Notand m(∡B)=m(∡D)=x°⇒m(∡A)=180°-x° (2). Deoarece suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este egala cu 360°⇒  m(∡A)+m(∡B)+m(∡C)+m(∡D)=360° ⇒180°-x°+x°+m(∡C)+x°=360° ⇒  
180°+m(∡C)+x°=360° |-180°-x°⇒m(∡C)=180°-x° (3) . Din (2) si (3) ⇒ m(∡A)=m(∡C) ⇒ ∡C este suplementul ∡B si ∡D (4).
Din relatiile (1) si (4) se observa ca patrulaterul ABCD indeplineste conditiile ca oricare pereche de unghiuri alaturate sa fie suplementare (vezi relatiile (1) si(4))
deci ABCD este paralelogram.