pb 6 va rog olimpiada internațională de matematică
Răspunsuri la întrebare
ABCD patrulater convex
AB · CD = BC · DA (6)
∡XAB = ∡XCD
∡XBC = ∡XDA
====================
∡BXA + ∡DXC = 180°
======================
(! Desenul nu este unul reprezentativ in sine, pentru ca nu stim daca punctele AXC sunt coliniare, ci trebuie sa demonstram).
Sa presupunem ca ∡CDA = ∡CBA = 90° si C, X, A coliniare
Atunci, conform teoremei lui Pitagora avem:
CA²=CD²+AD² (1)
CA²=AB²+BC² (2)
(1), (2) => CD²+AD² = AB²+BC² (3)
De vreme ce ∡XAB = ∡XCD => ∡CAB = ∡ACD => sin CAB = sin ACD => AD = BC => AD²=BC² (4)
(3), (4) => CD²=AB²=>CD=AB (5)
(5), (6) => AB = BC = CD = AD => ABCD patrat => toate unghiurile sunt de 90° => AC, DB sunt diagonale => ∡CXB = ∡BXA = ∡AXD = ∡DXC = 90° => ∡BXA + ∡DXC = 90 + 90 = 180° QED.
Nu sunt sigur ca este riguros din punct de vedere logic, tinand cont ca am plecat de la doua propozitii ipotetice ce pot insela demonstratia datorita proprietatii disjunctive, care face ca ipoteza initiala sa ramana adevarata in urma reducerii la aburd, desi una dintre propozitii este falsa. Probabil ca ar mai trebui demonstrat independent ca AXC sunt coliniare...
