Question

Pe cercul C(O, 2 radical din 3 cm) se considera punctele A,B,C si D in aceasta ordine astfel incat CD este diametru si AD congruent cu AB congruent cu CD. Notam E,F si G picioarele perpendicularelor construite din punctul O pe dreptele AC,BD respectiv AB. a) Aratati ca patrulaterul OEGF este romb. b)Calculati perimetrul rombului OEGF​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

CD este diametru, A și B sunt de aceeași parte a segmentului CD

r = OD = OB = OA = OC

=> ΔAOD, ΔAOB, ΔBOC sunt isoscele

AD ≡ AB ≡ BC

=> m(arc AD) = m(arc AB) = m(arc BC) = 60°

=> ΔAOD ≡ ΔAOB ≡ ΔBOC sunt echilaterale (cazul L.U.L.)

OA ≡ OC => ΔAOC este isoscel, ∢AOC = 120° => ∢ACO = 30°, OE⊥AC

=> în ΔOCE: OE = ½×OC = ½×r

OB ≡ OD => ΔBOD este isoscel, ∢BOD = 120° => ∢DBO = 30°, OF⊥BD

=> în ΔOBF: OF = ½×OB = ½×r

în ΔAOB echilateral: OG⊥AB => OG este înălțime => OG este mediană

=> AG ≡ BG

în ΔABF dreptunghic: FG este mediană

=> FG = ½×AB = ½×r

în ΔABE dreptunghic: EG este mediană

=> EG = ½×AB = ½×r

atunci:

OE = OF = FG = EG = ½×r

$\implies patrulaterul \ \ {\bf OEGF} \ \ este \ \ { \bf romb}$

b)

Perimetrul (OEGF) = 4×OE = 4×½×r = 2r = 2×2√3 = 4√3 cm