Question

pe doua laturi AB si DC ale unui patrat se construiesc doua triunghiuri echilaterale ABE si DCF (primul cu vf in interior si al doilea cu vf in exteriorul patratului). Aratati ca punctele O, E si F sunt coliniare, unde O este intersectia diagonalelor patratului.
Cu explicatie va rog.

Answer 1

ABE fiind echilateral, implică faptul că înălțimea din E este și mediatoarea (adică dreapta care este perpendiculara pe mijlocul lui AB.
La fel, în triunghiul FDC inălțimea din F este și mediatoarea,deci este perpendiculara ce atrece prin mijlocul lui CD.
Cum dreapta formata de mijloacele segmentelor AB și CD trece prin O, fiind paralela cu AD și BC, care sunt perpendiculare pe AB și CD, va fi paralela cu cele 2 înălțimi.
Dar printr un punct (mijlocul lui AB) nu pot fi duse 2 drepte paralele, deci acestea se suprapun!.La fel cu înălțimea din F care se suprapune cu dreapta ce unește mijloacele lui AB și CD.Concluzie:E,O,F sunt pe aceeași dreapta.