Question

Pe laturile AB, AC şi BC ale triunghiului ABC se consideră punctele M, N şi, respectiv, P astfel încât AM = MB,
MN || BC şi MP || AC. Se mai consideră punctul A', simetricul punctului A faţă de punctul P şi punctele E şi F pe segmentul AA' încât MF || CE. Să se arate că:
b) 2MN = BC şi AN = NC;
a) NP || AB;
c) 2MF = CE.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

AM = MB => M este mijlocul segmentului AB (1)

MN || BC => N este mijlocul segmentului AC (2)

MP || AC => P este mijlocul segmentului BC (3)

=> din (2) și (3) => NP este linie mijlocie

=> NP || AB

b)

din (1) și (2) => MN este linie mijlocie

=> MN = ½×BC => 2MN = BC

din (2) => AN = NC

c)

A' este simetricul lui A față de P => AP ≡ PA' (4)

din (3) => BP ≡ PC (5)

din (4) și (5) => ABA'C este paralelogram

=> AB || CA' și AB ≡ CA' (6)

=> ∢BAP ≡ ∢CA'P (alterne interne)

<=> ∢MAF ≡ ∢CA'E (7)

MF || CE => ∢AFM ≡ ∢A'EC (8)

din (7) și (8) => ΔMAF ~ ΔCA'E

$\implies \frac{MF}{CE} = \frac{MA}{CA'}$

din (1) și (6) => AM = ½×AB = ½×CA'

$\implies \frac{MF}{CE} = \frac{ \frac{1}{2} \cdot CA'}{CA'} = \frac{1}{2} \implies \bf MF = 2CE$

q.e.d.