Question

Pe laturile AB si AC ale triunghiului isoscel ABC (AB = AC) se considera punctual M si respective N astfel incat AM =AN si fie E mijlocul segmentului BN . Dca F se afla pe (CM) astfel incat ≮CAF ≡≮BAE , demonstrati ca F este mijlocul segmentului.

Answer 1

triunghiurile BAN si CAM sunt congruente (LUL)
AB=AC, ∡A comun, AN=AM ipoteza, rezulta
∡ABN=∡ACM (1)
triunghiurile AEB si AFC sunt congruente (ULU)
∡BAE=∡CAF ipoteza
AB=AC ipoteza
si relatia (1)
rezulta ca AE=AF ⇒ tr. AEF este isoscel
ducem AA'⊥EF ⇒ AA' este si bisectoare in tr. AEF si fara detalii AA' este si bisectoarea unghiului A din tr. ABC
prin urmare AA' este si inaltime in tr. ABC deci prelungind AA' se obtine AA''⊥BC
in concluzie EF║BC (ambele perpendiculare pe AA'')
evident ca MN║BC din constructie (AM=AN + thales)
prelungim EF pana intersecteaza AB in P si pe AC in Q
PQ║BC║MN ⇒  PE e linie mijlocie in tr. MBN deoarece BE=EN si PE║MN
rezulta BP=PM (2)
PF e linie mijlocie in tr. MBC deoarece avem relatia (2) si PF║BC
asta inseamna ca MF=FC , deci F e la mijlocul lui MC