Question

pe laturile AB si AC ale triunghiului isoscel ABC se iau punctele M si N a.i. AM=AN. Perpendicularele in M si N pe AB respectiv AC intersecteaza AC in E respectiv pe AB in F. Sa se dem. ca: A) AE=AF si BE=CF B) Daca FN intersecteaza EM in P,atunci triunghiul MFP congruent cu triunghiul NEP C) AP perpendicular pe BC

Answer 1

Triunghiurile BAN si CAM sunt congruente (LUL)
AB=AC, ∡A comun, AN=AM ipoteza, rezulta
∡ABN=∡ACM (1)
triunghiurile AEB si AFC sunt congruente (ULU)
∡BAE=∡CAF ipoteza
AB=AC ipoteza
si relatia (1)
rezulta ca AE=AF ⇒ tr. AEF este isoscel
ducem AA'⊥EF ⇒ AA' este si bisectoare in tr. AEF si fara detalii AA' este si bisectoarea unghiului A din tr. ABC
prin urmare AA' este si inaltime in tr. ABC deci prelungind AA' se obtine AA''⊥BC
in concluzie EF║BC (ambele perpendiculare pe AA'')
evident ca MN║BC din constructie (AM=AN + thales)
prelungim EF pana intersecteaza AB in P si pe AC in Q
PQ║BC║MN ⇒ PE e linie mijlocie in tr. MBN deoarece BE=EN si PE║MN
rezulta BP=PM (2)
PF e linie mijlocie in tr. MBC