Question

Pe laturile BC si CD  ale patratului se iau punctele E ,respectiv F astfel incat BE=1\3AB ,CF=2\9 BC,Sa se arate  ca triunghiul AEF este dreptunghic.

Answer 1

În pătratul ABCD, avem (uită-te şi în imaginea ataşată):

[tex]AB = BC = CD = DA = x \ (fiindca \ laturile \ patratului \ sunt \ egale) \\ BE = \frac{x}{3} \\ EC = 1 - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3} \\ CF = \frac{2x}{9} \\ FD = 1 - \frac{2x}{9} = \frac{7x}{9} \\[/tex]

Ca să demonstrăm că triunghiul AFE este dreptunghic, ne folosim de consecinţa teoremei lui Pitagora; dacă suma pătratelor a două laturi = pătratul celei de a treia => triunghiul este dreptunghic (catetă la pătrat + catetă la pătrat = ipotenuză la pătrat)

Mai întâi aflăm cu căt este egală fiecare latură a triunghiului AFE. 

Pentru a afla cu cât este egală AE, ne uităm în triunghiul ABE, care este dreptunghic în B şi aplicăm teorema lui Pitagora:

[tex]AB ^{2} + BE^{2} =AE^{2} \\ x^{2} + (\frac{x}{3})^{2} = AE^{2} \\ AE = \frac{x \sqrt{10} }{3}[/tex]

Pentru latura EF, aplicăm Pitagora în triunghiul EFC, dreptunghic în C:

[tex]EC^{2} + FC^{2} = EF^{2} \\ EF= \frac{x\sqrt{20}}{6}[/tex]

Pentru FA, aplicăm Pitagora în ADF, dreptunghic în D:

[tex]AF^{2} = AD^{2} + DF^{2} \\ AF = \frac{x \sqrt{130} }{9}[/tex]

Le aducem pe toate la acelaşi numitor şi avem: 

[tex]EF = \frac{3 \sqrt{20}}{18} \\ AE = \frac{6 \sqrt{10}}{18} \\ AF= \frac{2 \sqrt{130}}{18} \\[/tex]

Le ridicăm la pătrat, ca să vedem dacă sunt numere pitagoreice (scot numitorul, fiindcă este inutil acum) şi mă uit dacă pătratul celui mai mare dintre ele este egal cu suma pătratelor celorlalte:

$520 = 180 + 360 \ fals..$

Deci nu este dreptunghic, sau am greşit eu pe la calcule, maybe. Oricum, modul de lucru este corect; poţi reface tu calculele.