Question

Pe laturile unui triunghi ABC echilateral se consideră punctele P aparține (BC),Q aparține (CA),R aparține (AB), astfel încât laturile BP,CQ şi AR sunt congruente . Demonstrați că triunghiul PQR este echilateral.

Answer 1

daca ABC este triunghi echilateral, atunci
AB=AC=BC(1)
daca P este pe BC, Q este pe CA si R este pe AB, atunci avem relatiile
(2)
BP+PC=BC
CQ+QA=CA
AR+RB=AB
Mai stim de asemenea ca laturile egale sunt
BP=CQ=AR(3)
Din cele trei relatii, rezulta ca si restul de laturi sunt egale
PC=QA=RB
Fiind triunghi echilateral, toate unghiurile sunt egale intre ele
$\angle{ABC}=\angle{BAC}=\angle{ACB}$
Luam triunghiurile QAR,RBP si PCQ si avem urmatoarele relatii
RA=BP QA=RB si $\angle{QAR}=\angle{BAC}=\angle{ABC}=\angle{RBP}$ atunci triunghiurile QAR si RBP sunt congruente cu caz LUL(laturile si unghiul dintre ele sunt congruente). Atunci si ultimele doua laturi din cele doua triunghiuri sunt congruente RQ=RP(4)
Similar: RB=PC si BP=CQ si $\angle{RBP}=<span>\angle{ABC}</span>=\angle{ACB}=\angle{PCQ}$
atunci avem un nou caz de congruenta LUL cu ultimele doua laturi egale:
PQ=RP(5)
Din 4 si 5 rezulta ca PQ=RQ=RP adica tringhiul PQR este echilateral