Question

Pe muchia (BC) a tetraiedului ABCD se consideră punctul E. Paralela prin E la AB intersectează AC în F si paralela prin E la Ac intersecteaza AB si G . daca M este miljocul lui (AD) si N este punctul de intersecție al dreptelor AE si FG care este pozitia dreptei MN fata de planul BCD .? Justificati!

Answer 1

Cheia problemei este faptul ca o un segment paralel din cadul unui triunghi echilateral formeaza un alt triunghi echilateral in interiorul celui initial.
Ne uitam la triunghiul echilateral ABC din figura 1. Luam un punct la intamplare D pe latura AB si ducem paralela la segmentul AC care intalneste BC in punctul E.
Deci DE||AC. Atunci din teorema lui Thales rezulta ca
$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$ dar triunghiul ABC este echilateral, deci AB=BC. DIn cele 2 relatii rezulta ca BD=BE deci triunghiul BDE este isoscel.
Dar stim ca si unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale cu 60 de grade, implicit $\angle{ABC}=\angle{BDE}=60$ deci triunghiul BDE este isoscel si are un unghi de 60 de grade, din care rezulta ca BDE este echilateral.
Folosindu-ne de asta, ne uitam acum la tetraedrul ABCD. Fata ABC este un triunghi echilateral. In cadrul lui avem
1) segmentul paralel EF cu AB care formeaza triunghiul echilateral CEF adica are laturile egale CE=CF=EF
2) segmentul paralel EG cu AC care formeaza triunghiul echilateral BEG adica are laturile egale BE=BG=EG
Ne uitam la relatiile de pe fiecare dintre laturi
Pe latura BC avem $BC=BE+CE$(3) acum ne uitam pe latura AC
$AC=AF+CF=AF+CE=BC$ din relatia asta si cea de mai sus rezulta ca
AF=BE, dar am vazut mai sus si ca BE=EG, atunci rezulta ca AF=EG
Pe latura AB avem $AB=AG+BG=AG+BE=BC$ din asta si relatia (3) rezulta ca AG=CE. Dar am vazut si mai sus din relatia 1: CE=EF. Din ultimele 2 relatii rezulta ca AG=EF
Deci avem relatiile: AG=EF si AF=EG. Observam ca acestea sunt laturile opuse ale patrulaterului AFEG. Deci fiecare pereche de laturi opuse ale patrulaterului AFEG sunt congruente, de unde rezulta ca AFEG este paralelogram, cu diagonalele AE si FG.
DIn enunt stim ca AE si FG se intersecteaza in punctul N. Dar mai stim ca diagonalele unui paralelogram se injumatatesc, atunci N este mijlocul diagonalei AE
Mai stim din enunt ca M este mijlocul laturei AD. Daca ne uitam atunci la triunghiul ADE, M si N sunt mijloacele a doua laturi, AD si AE, de unde rezulta ca MN este linie mijlocie in ADE si este paralela cu ultima latura a triunghiului, adica MN||DE
E apartine segmentului BC, atunci DE apartine planului BCD.
daca MN este paralel cu un segment DE din planul BCD, atunci MN este paralel cu planul BCD.