Question

Pe mulțimea C e definită operația algebrică C×C-》C, (x,y)-》x☆y=x+y+5i.Arătați că (C,☆)este grup comutativ.

Answer 1

 x*y=x+y+5i Cum x, y si 5i∈C, ⇒x*y∈C . Deci  *, e lege e compozitie interna

(x*y)*z= (x+y+5i) * z= x+y+5i+z+5i=x+y+z+10i
x* (y*z) =x* ( y+z+5i) =x+y+z+5i+5i=x+y+z+10i, deci asociativa

comutativitatea y*x=y+x+5i=x+y+5i, deci comutativa

cautam dac exista elementul de efect nul
x*e=x+e+5i=x⇒e=-5i∈C, exista element  neutru

cautam daca  exista element simetric
x*x'=e
x+x'+5i=-5i
x'=-x-5i-5i
x'=-x-10i∈C, deci ∀x∈C, , exisra x' ∈C
 cum propietatile grupului comutativ sunt indeplinite toate⇒(C, *) este grup comutativ

Obs ;nu am demonstrat in detaliu x= a+bi, y=c+di, z=f+gi, propietatile sun aceleasi