Question

Pe multimea de nr reale consideram legea de compozitie x*y=xy-x-y.
a) Aratati ca legea "*" este comutativa
b) Calculati (-10)*(-9)*(-8)*...*1*2
c) Aratati ca legea "*" nu admite element neutru
Va rooog, ajutati-ma!

Answer 1

.............................................

Answer 2

a) y*x=yx-y-x=xy-x-y=x*y, , " *", comutativa

c) fie e ,elementul neutru
 atunci x*e=xe-x-e=x
xe-e=2x
e(x-1)=2x
x=2x/(x-1) =f(x), deci nu e unic ; dar cum e, dac exista,  trebuie sa fie unic, adica independent de x, inseamna ca legea  " * " nu are element neutru


b) studiem mai intai daca legea este asociativa
 (x*y) *z=(xy-x-y)*z=xyz-xz-yz-xy+x+y-z

x*(y*z) =x*(yz-y-z)=xyz-xy-xz-x-yz+y+z

se observa ca legea NU este asociativa la prima expresie avem x+y-z, la a doua, -x+y+z
vezi exemplu numeric in josul paginii
*********
deci calculul cerut nu il putem face asociativ ci, cel mult, comutativ
dar cum mai multe operatii la rand nu se pot face decat asociativ, inseamna ca rezultatul operatiilor depinde de ordinea in care le facem

x*y*z ...*w nu se poate face decat de la stanga la dreapta

pt usurinta calcului , facem un artificiu

xy-x-y=xy-x-y+1-1
sau
 xy-x-y=(x-1)(y-1)-1
 atunci ,∀ a∈R, avem
si a*1=(a-1) (1-1)-1=0-1=-1
adica oprice numar compus la stanga sau la dreapta cu 1 ne da ca rezultat -1

presupunem ca asociativ sau nu (aici cred ca este un "bug" al problemei), am efectuat in ordine, de la stanga la dreapta,  calculele (-10)*(-9)...*(-1)*0 si ne-a dat rezultat final numarul real  'a"
urmeaza il compunem cu 1

a*1= (a-1)(1-1)-1=-1 sau , vcu legea '* "in forma dat la iopoteza
a*1= a*1-a-1=-1
si acum acest rezultat trebuiesa il compunem cu 2
 -1*2=(-1-1)(2-1)-1=-2-1
deci rezultatul operatieicerute este -3

verificare cu forma data in ipoteza  pt legea "*"
(-1)*2=-1*2 -(-1)-2=-2+1-2=-1-2=-3

dar am rezerve asupra corectitudinii exercitiului, pt ca efectuand operatiile  prin gruparea unor termeni am aplicat totusi asocierea lor
 dar sa admitem ca acesta este rezultatul SI legea , desi nu este asociativa  (adica da rezultate diferite in functie de asocierea lor) la compunere de la stanga la dreapta, pas cu pas, a acestui sir de numere,  va da acest rezultat,  -3




*******
sau, fiind necesar un singur contraexemplu pt a arat ca legea NU este asociativa, fie 1,2,3∈R

de ex fie (1*2)*3=(2-1-2)*3=(-1)*3=-3-(-1)-3=-3+1-3=-6+1=-5

1*(2*3)=1*(6-2-3)=1*1=1-1-1=-1≠-5