Question

Pe mulțimea
M=(0,+infinit) se definește legea de compoziție asociativă
x*y= x y +1 supra x+ y
b) Determinați numărul
x $ M pentru care x*2= 3 supra2

Answer 1

$\text{G} = (M, *), \text{ unde } a * b = \frac{ab + 1}{a + b}.$

Câteva observații rapide:

$a * b = b * a\\a * b = a \implies a = 1.\\a * (b * c) = (a * b) * c\\a * 1 = 1$

Ne întoarcem la problemă:

$x * 2 = \frac{3}{2}\\\frac{2x + 1}{x+ 2} = \frac{3}{2}$

$2(2x + 1) = 3(x + 2)\\4x + 2 = 3x + 6\\x = \boxed{4}$

$4 \in G, \text{ deoarece } 4 = \frac{5 \cdot 19 + 1}{5 + 19}$