Question

Pe multimea nr reale se da legea de compozitie asociativa x*y=1 pe 10 xy-(x+y)+20. a) demonstrati ca: x*y=1pe 10 (x-10)(y-10) +10. b) determ valoarea lui x pt care x*y<101 pe 10. c) calculati: log in baza 2 din 1* log in baza 2 din 2* log in baza 2 din 3 *......* log in baza 2 din 2018. va rog mult. am mare nevoie sa stiu cum se face. dau coroana, va implor!! sa fie cat mai desfasurat ca sa inteleg. va rooog!!! am nevoie urgent!!

Answer 1

a) 

[tex]\it x*y = \dfrac{1}{10}xy -(x+y) +20 = \dfrac{1}{10}xy \ -\ ^{10)}(x+y) +\ ^{10)}10 + 10 = \\ \\ \\ = \dfrac{xy - 10x-10y+100}{10} +10 = \dfrac{y(x-10) -10(x-10)}{10} +10 = \\ \\ \\ = \dfrac{(x-10)(y-10)}{10} +10 = \dfrac{1}{10}(x-10)(y-10) +10 [/tex]

b) 

[tex]\it x*y \ \textless \ \dfrac{101}{10} \Rightarrow x*y \ \textless \ 10 + \dfrac{1}{10} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{1}{10}(x-10)(y-10) +10\ \textless \ 10+\dfrac{1}{10} |_{-10} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{1}{10}(x-10)(y-10) \ \textless \ \dfrac{1}{10} |_{\cdot 10} \Rightarrow (x-10)(y-10) \ \textless \ 1[/tex]

Avem 3 cazuri:

[tex]\it I)\ y=10 \Rightarrow x \in \mathbb{R} \\ \\ \\ II)\ y\ \textless \ 10 \Rightarrow x-10 \ \textgreater \ \dfrac{1}{y-10} |_{+10} \Rightarrow x \ \textgreater \ \dfrac{10y-99}{y-10} \\ \\ \\ II)\ y\ \textgreater \ 10 \Rightarrow x-10 \ \textless \ \dfrac{1}{y-10} |_{+10} \Rightarrow x \ \textless \ \dfrac{10y-99}{y-10}[/tex]

c)

Un factor al produsului din enunț este:

[tex]\it log_2{1024} = log_2{2^{10}} = 10log_2 2 = 10 \\ \\ \\ x*10 = \dfrac{1}{10} (x-10)(10-10) +10 = 0+10=10 \\ \\ \\ 10*y = \dfrac{1}{10}(10-10)(y-10)+10 = 0+10= 10 [/tex]

Deci, valoarea produsului din enunț este egală cu 10.