Question

Pe Mulțimea nr reale se def legea de compoziție
X*Y=-3xy+9x-9y-24
a) x*y=-3(x-3) (y-3)

Answer 1

$x*y = - 3(x - 3)(x - 3) + 3$

$x*y = - 3(xy - 3x - 3y + 9) + 3$

$x*y = - 3xy + 9x + 9y - 27 + 3$

$x*y = - 3xy + 9x + 9y - 24$

Asociativitate

$\forall\:x,y,z\:\in\:\mathbb{R}\:\:x*(y*z)=(x*y)*z$

$x*(y*z)=x*(-3yz+9y+9z-24)$

Notăm -3yz+9y+9z-24 cu t

$=x*t=-3xt+9x+9t-24$

$=-3x(-3yz+9y+9z-24)+9x+9(-3yz+9y+9z-24)-24$

$=9xyz-27xy-27xz+72x+9x-27yz+81y+81z-216-24$

$=9xyz-27xy-27xz-27yz+81x+81y+81z-240\:\:(1)$

$(x*y)*z=(-3xy+9x+9y-24)*z$

Notăm -3xy+9x+9y-24 cu t

$=t*z=-3tz+9t+9z-24$

$=-3z(-3xy+9x+9y-24)+9(-3xy+9x+9y-24)+9z-24$

$=9xyz-27xz-27yz+72z-27xy+81x+81y-216+9z-24$

$=9xyz-27xy-27xz-27yz+81x+81y+81z-240\:\:(2)$

Din (1)=(2)=>"*" asociativă

Answer 2

Salut, raspunsul lui 19999991 (sper ca am scris numele corect) este bun ,doar ca sa complicat la punctul b). Era mult mai indicat sa te folosesti de punctul a).

$x\ast (y\ast z)=(x\ast y)\ast z, \forall x,y,z \in \mathbb{R}\\x\ast[-3(y-3)(z-3)+3]=[-3(x-3)(y-3)+3]\ast z~ \Rightarrow \\-3(x-3)[-3(y-3)(z-3)+3-3]+3=\\=-3[-3(x-3)(y-3)+3-3](z-3)+3 (\text{nu a incaput pe un rand})\\9(x-3)(y-3)(z-3)+3=9(x-3)(y-3)(z-3)+3 -\text{relatie adevarata.}$

La punctul c) ne folosim iarasi de punctul a).

$(x\ast x)\ast x=12\\{[-3(x-3)(x-3)+3]}\ast x=12\\-3[-3(x-3)(x-3)+3-3](x-3)+3=12\\9(x-3)^3=9\\(x-3)^3=1\\x-3=1\\x=4\\S=4$