Question

Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie x*y=xy-x-y+2. Sa se demonstreze ca legea ,, * " este asociativa si sa se determine elementul neutru​

Answer 1

Răspuns:

vezi mai jos!

Explicație pas cu pas:

Asocietivitate:

vom demonstra ca

x*(y*z) = (x*y)*z, ∀x,y,z∈R

M1 = x*(y*z) = x*(yz-y-z+2) = x(yz-y-z+2) - x - (yz-y-z+2) + 2

M2 = (x*y)*z = (xy-x-y+2)*z = z(xy-x-y+2) - (xy-x-y+2) - z + 2

M1 - M2 = xyz -xy -xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 -

               -xyz + xz + yz - 2z + xy - x - y + 2 + z - 2 = 0, deci avem

M1 = M2, de unde rezulta asocietivitatea legii de compozitie interna pe R.

Q.E.D.

Element neutru:

∀x∈R, x*e=e*x=x

x*e = xe - x - e + 2 = x           (1)

xe - e = x+x-2

e(x-1) = 2x-2

e(x-1) = 2(x-1) I : x-1, x≠1

e = 2.

Cercetam si pentru cazul x=1:

introducem valoarea x=1 in relatia notata cu (1):

e - 1 - e + 2 = 1, 1=1, deci se verifica si pentru x=1, deci

se verifica ∀x∈R faptul ca

e = 2.